una consecuencia de una $\mathcal{L} (X, Y)$ de transformaciones lineales entre dos espacios de Banach real $X$ y $Y$

Question

He leído una declaración siguiente en un artículo académico de la Revista de Análisis Matemático y Aplicaciones. Por favor, consulte el Lema 3 en https://ac.els-cdn.com/S0022247X05001897/1-s2.0-S0022247X05001897-main.pdf?_tid=75c416d8-c0c8-11e7-9e29-00000aacb362&acdnat=1509735466_ce1f132e2c3285a21b65e184e2630ecd.

Deje $E$ ser un verdadero espacio de Banach dotado de completar norma $\| \cdot \|$ $P$ a un total de cono de $E$.

Supongamos $B \colon P \to P$ es un delimitada operador lineal.

Por lo tanto, este operador $B$ puede ser extendido de forma exclusiva a un almacén de operador lineal en $\overline{B} \colon \overline{P-P} = E \to E$ tal que $\| \overline{B} \| = \| B\|$.

Ya que no hay ninguna prueba o comentarios relativos a esta declaración en ese papel, yo no se por qué es cierto. Estaba pensando que esta declaración podría ser una consecuencia de la Hahn teorema de Banach para transformaciones lineales $\mathcal{L} (X, Y)$ entre dos espacios de Banach $X$$Y$.

De hecho, la condición previa para tales consecuencias pueden requerir el espacio $Y$ contar con la extensible de la propiedad, por favor consulte la Sección 10 de esta nota http://www-personal.umich.edu/~romanv/enseñanza/2009-10/602/breve-historia-de-análisis.pdf .

Sin embargo, en cuanto a la declaración que escribí aquí, que sólo supone que $E$ es un verdadero espacio de Banach con un total de positivos cono $P$. Yo no se por qué es eso.

Así, podría alguien por favor me ayude y explicar? o podría alguien por favor probar la instrucción que he escrito arriba?

Cualquier idea o sugerencia, sería muy apreciada! Gracias de antemano!

Answer 1

Escribí algo para un caso en particular antes, pero yo estaba siendo un poco densa.

Deje $P$ ser un cono en $E$ tal que $E_0 = P - P$ es denso en $E$. Deje $B: P \to P$ ser tan lineal como puede ser, es decir,$B(s u + t v) = s B(u) + t B(v)$$u, v \in P$$s, t \ge 0$. Tratar de definir una extensión lineal de $B$$E_0$$\bar B(u-v) = B(u) - B(v)$$u, v \in P$. Es este bien definidos? Si $u_1 - v_1 = u_2 - v_2$,$u_1 + v_2 = u_2 + v_1 \in P$. Por lo tanto $B(u_1) + B(v_2) = B(u_1 + v_2) = B(u_2 + v_1) = B(u_2) + B(v_1)$. Por lo tanto, $B(u_1) - B(v_1) = B(u_2) - B(v_2)$. Por lo tanto $\bar B$ está bien definida la extensión de a $E_0$. La linealidad es fácil de comprobar.

Ahora, ¿qué acerca de acotamiento? Si la extensión lineal $B$ es acotado, se extiende únicamente a $E$ por la continuidad.

Es aquí que usted puede ser que necesite algunas hipótesis extra en $E$$P$. El mínimo que se necesita es la existencia de una descomposición $f = f_+ - f_{-}$$||f_{\pm}|| \le k ||f||$. Para entonces $$\begin{aligned} ||\bar B(f)|| &= ||\bar B(f_+ - f_{-})|| \\ &= ||B(f_+) - B(f_{-})|| \le ||B(f_+)|| + ||B(f_{-})|| \\ &\le K(||f_+|| + ||f_{-} ||) \le 2 K k ||f||. \end{aligned}$$

Usted esperaría mejores estimaciones en casos especiales.