Conteo de vectores en $\mathbb{Z}_n^n$ $0$ como un valor más común de coordenadas

Question

¿Cómo podemos contar el número de vectores en $\mathbb{Z}_n^n$ que $0$ como sus estrictamente más común valor de coordenadas que aparecen exactamente $k$ veces ? Más precisamente, si denotamos por $$\alpha(\mathbf{x},m)=\sum_{k=1}^n \mathbb{1}\{ x_k=m \}$$ the number of times the value $m$ appears as a coordinate in a vector $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$, entonces los números que estoy buscando son

$$\beta(n,k) = \big| \big\{ (x_1, x_2,...,x_n) \in \mathbb{Z}_n^n: \alpha(0) = k, \alpha(\mathbf{x},0)>\alpha(\mathbf{x},m) \quad \mbox{for} \quad m=1,2,...,n-1 \big \}\big|$$

También me gustaría contar los vectores que han $0$ como el más común de valor de coordenadas que aparecen exactamente $k$ veces que es el mismo número de veces que otro valor de coordenadas aparece. En este último caso, también me gustaría saber cuántos valores son iguales y la definición formal sería

$$\hat{\beta}(n,k) = \big| \big\{ (x_1, x_2,...,x_n) \in \mathbb{Z}_n^n: \alpha(\mathbf{x},0) = k, \exists m \in \{1,2,..., n-1\} \quad \mbox{s.t.} \quad \alpha(\mathbf{x},0)=\alpha(\mathbf{x},m) \big \}\big|$$

Por ejemplo, si $n=3$, entonces todos los $27$ vectores $(0,0,0), (0,0,1),..., (2,2,2)$, de la cual se $1$ que ha $0$ como estrictamente más común valor de coordenadas que aparecen $3$ veces (el vector $(0,0,0)$), hay $6$ que $0$ como estrictamente más común valor de coordenadas que aparecen $2$ veces (esos son los vectores $(0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,2), (0,2,0)$ $(2,0,0)$ ) y 6 que tienen $0$ como el valor más común que aparece una vez, pero no es la única más común valor de coordenadas (esas son las $6$ permutación y $3$ valores son iguales). Por lo $\beta(3,3)=1, \beta(3,2) = 6$$\hat{\beta}(3,1) = 6$)

EDICIÓN Al $k>n/2$, los cálculos son sencillos, ya que sólo necesita para colocar la $k$ ceros y llene el resto de los lugares con cifras arbitrarias, por lo $\beta(n,k) = C^k_n \times (n-1)^{(n-k)}$. El problema radica, en el caso de $k\leq n/2$.

EDIT 2 Aquí están algunos precalculadas valores :

$\beta(3,k) = [0, 0, 6, 1]$ $k=0,1,2,3$

$\beta(4,k) = [0, 0, 36, 12, 1]$ $k=0,1,...,4$

$\beta(5,k) = [0, 0, 240, 160, 20, 1]$ $k=0,1,...,5$

$\beta(6,k) = [0, 0, 1800, 2400, 375, 30, 1]$ $k=0,1,...,6$

$\beta(7,k) = [0, 0, 15120, 40950, 7560, 756, 42, 1]$ $k=0,1,...,7$

y para $n=6$ $A[i][j]$ entrada en la matriz a continuación almacena el número de veces que $0$ aparece un número máximo de veces igual a $i$ junto con $j$ otros valores.

[[ 0. 0. 0. 0. 720. 0.]

[ 5400. 900. 0. 0. 0. 0.]

[ 100. 0. 0. 0. 0. 0.]

[ 0. 0. 0. 0. 0. 0.]

[ 0. 0. 0. 0. 0. 0.]

[ 0. 0. 0. 0. 0. 0.]]

La misma matriz para $n=5$:

[[ 0. 0. 0. 120. 0.]

[ 360. 0. 0. 0. 0.]

[ 0. 0. 0. 0. 0.]

[ 0. 0. 0. 0. 0.]

[ 0. 0. 0. 0. 0.]]

Answer 1

Dado un alfabeto de $n$ (distinta) de caracteres, que puede supone el conjunto de $\{1,2,\cdots,n\}$, el número de palabras, es decir, listas donde el orden y el etiquetado de la cuenta, de la longitud de la $m$ en la que el personaje se $j$ es repetidas $k_j$veces viene dado por la multinomial $$\bbox[lightyellow] { {{m.} \over {k_{\,1} !k_{\,2} !\; \cdots \;k_ {\n} !}}\quad \left| {\;k_{\,1} + k_{\,2} + \; \cdots + \;k_ {\n} \, = \,m} \right. }$$

Consideremos $W(n,m,r)$ como el número de palabras
- desde alfabeto $\{1,2,\cdots,n\}$
- de longitud $m$
- con cada uno de los caracteres repetidos en la mayoría de las $r$ veces
Puede ser expresado claramente como $$\bbox[lightyellow] { W(n,m,r) = \sum\limits_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,k_{\,j} \; \leqslant \,r \\ k_{\,1} + k_{\,2} + \; \cdots + \;k_{\,n} \, = \,m \end{subarray} \right.\;} {\frac{{m.}} {{k_{\,1} !k_{\,2} !\; \cdots \;k_ {\n} !}}} } \etiqueta {1}$$

Ahora bien, si uno de carácter específico (por ejemplo,$k_n$) se repite exactamente $t$ tiempos, mientras que los otros se repiten en la mayoría de las $s$ , luego el número de las palabras así formadas se $$\bbox[lightyellow] { \begin{gathered} W^ * (n,m,t,s) = \sum\limits_{\left\{ \begin{subarray}{l} k_{\,n} = t \\ 0\, \leqslant \,k_{\,j} \; \leqslant \,s\quad \left| {\;n\, \ne \,j} \right. \\ k_{\,1} + k_{\,2} + \; \cdots + \;k_{\,n} \, = \,m \end{subarray} \right.\;} {\frac{{m.}} {{k_{\,1} !k_{\,2} !\; \cdots \;k_ {\n} !}}} = \hfill \\ = \sum\limits_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,k_{\,j} \; \leqslant \,s\quad \left| {\;0\, \leqslant \,j\, \leqslant \,n - 1} \right. \\ k_{\,1} + k_{\,2} + \; \cdots + \;k_{\,n - 1} \, = \,m - t \end{subarray} \right.\;} {\frac{{\left( {m - t} \right)!}} {{k_{\,1} !k_{\,2} !\; \cdots \;k_{\,n - 1} !}}\frac{{m.}} {{\left( {m - t} \right)!t!}}} = \hfill \\ = \left( \begin{gathered} m \\ t \\ \end{reunieron} \right)\;W(n - 1,\,m - t,\,s) \hfill \\ \end{se reunieron} } \etiqueta {2}$$

Poner a $s=t-1$ y sumando para $2 \le t \le n$ le dará la respuesta a su problema.

Así que todo se reduce a $W$.
Yo no soy consciente de que una formulación más "compacto" de (1).
Sin embargo, podemos calcular $W$ también de forma recursiva.

De hecho, poner a $s=r, t=j$ en (2) obtenemos $$\bbox[lightyellow] { \begin{gathered} W(n,m,r) = \sum\limits_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,k_j \; \leqslant \,r \\ k_{\,1} + k_{\,2} + \; \cdots + \;k_{\,n} \, = \,m \end{subarray} \right.\;} {\frac{{m.}} {{k_{\,1} !k_{\,2} !\; \cdots \;k_ {\n} !}}} = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \,j\; \leqslant \,r} {\;\sum\limits_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,k_{\,l} \; \leqslant \,r\quad \left| {\;0\, \leqslant \,l\, \leqslant \,n - 1} \right. \\ k_{\,1} + k_{\,2} + \; \cdots + \;k_{\,n - 1} \, = \,m - j \end{subarray} \right.\;} {\frac{{\left( {m - j} \right)!}} {{k_{\,1} !k_{\,2} !\; \cdots \;k_ {\n} !}}\frac{{m.}} {{\left( {m - j} \right)!j!}}} } = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \,j\; \leqslant \,r} {\left( \begin{gathered} m \\ j \\ \end{reunieron} \right)\;W(n - 1,\,m - j (,\, r)} \hfill \\ \end{se reunieron} } \etiqueta {3.a}$$ con condiciones de partida no está bien establecido.
De hecho, es suficiente poner $$\bbox[lightyellow] { \left\{ \begin{gathered} W(n,\,m,\,r) = 0\quad \left| {\;n < 0\; \vee \;m < 0\; \vee \;r < 0} \right. \hfill \\ W(n,\,0,\,r) = 1\;\left( {\text{empty}\;\text{word}} \right) \hfill \\ \end{reunieron} \right. } \etiqueta {3.b}$$ desde otro "obvio" valores como $$\bbox[lightyellow] { \left\{ \begin{gathered} W(n,\,m,\,r) = 0\quad \left| {\;rn < m} \right. \hfill \\ W(n,\,m,\,1) = n^{\,\underline {\,m\,} } \hfill \\ W(1,\,m,\,r) = \left[ {m \leqslant r} \right] = \left( \begin{gathered} m - r \\ m - r \\ \end{reunieron} \right) \hfill \\ W(n,\,1,\,r) = n\left[ {1 \leqslant r} \right] \hfill \\ \end{se reunieron} \right. } \etiqueta {3.c}$$ seguir a partir de ese. Una descomposición LU de a $W$ representa como matriz da $$W(n,m,r) = \sum\limits_{0\, \leqslant \,k\; \leqslant \n\;} {\left( \begin{gathered} n \\ k \\ \end{reunieron} \right)k!T(k,m,r)} = \sum\limits_{0\, \leqslant \,k\; \leqslant \n\;} {T(k,m,r)\,n^{\,\underline {\k\,} } }$$ donde:
$T(n,m,2)$ es OEIS A144331,
$T(n,m,3)$ es OEIS A144385,
$T(n,m,4)$ es OEIS A144643 ....

Lo anterior muestra un paralelismo con el tranformation $n^m\; \to \; n^{\,\underline {\,k\,} }$ a través de Stirling N. 2ª clase.
Si es así, $T(n,m,r)$ deberá leer similar a la transpuesta de la Stirling N., es decir, como $\left\{ \begin{gathered} m \\ n \\ \end{gathered} \right\}$, y, de hecho, muy curiosamente, en OEIS se define como
número de particiones de un m en n subconjuntos no vacíos, cada uno de tamaño en la mayoría de los r.