¿Cómo tiene un CFT ambos invariación de espectro y la escala de energía discreta?

Question

Yo pensaría que un CFT deben tener continuo espectro de la energía, ya que si usamos el operador de dilatación $D$ a escala por un importe $\lambda$, el Hamiltoniano $H=P^0$ escalas como $$e^{i\lambda D}P^0e^{-i\lambda D} = e^\lambda P^0,$$ y para cualquier energía eigenstate $|E\rangle$ a la energía E, hay un poco de energía eigenstate $e^{i\Lambda D}|E\rangle = |e^\lambda E\rangle$ con energía $\lambda E$.

Este mismo argumento se utiliza a menudo para demostrar que el espectro de masas (el espectro de $P^\mu P_\mu$) debe ser cero o continua.

Entonces, ¿cómo puede el espectro de energía de ser discretos? O cuando la gente habla acerca de la energía discreta del espectro, lo que realmente significa el espectro de la dilatación del operador $D$? Si la respuesta implica radial de cuantización, que sólo se aplica a $d=2$ dimensiones, también me gustaría saber sobre el caso de los CFTs en $d>2$.

Answer 1

Cuando uno representa a $PSL(2,\mathbb R)$ unitarily, una base natural de los generadores es de la auto-adjunto operadores de $H,D,C$ con reglas de conmutación (sobre una densa invariante de dominio)

$[H,D]=iH$

$[C,D]= -iC$

$[H,C]= 2i D$

A mí me parece que usted se está refiriendo a la primera de conmutación de la regla que, exponentiated lleva a la (correcta) conclusión: el espectro de la $H$ es continua. El mismo resultado se aplica a $C$ a la vista de los similares relaciones de conmutación. El operador con discreta del espectro es otra:

$$K_\mu = \mu H + \mu^{-1} C $$

para todos los fijos $\mu >0$. Este operador se interpola entre $H$ ($\mu \to +\infty$) y $C$ ($\mu \to 0$) y juega un cierto papel en varias aplicaciones de CFT.

Para una discusión (en realidad se aplica a QFT en la curva el espacio-tiempo, pero la discuten los resultados matemáticos son en general) consulte el papel viejo fui co-autor de la Física Nuclear B 647 (2002) 131-152 (arXives)