Differentiability de vs differentiability complejo en $\mathbb{R}^2$

Question

Me preguntaba acerca de los siguientes durante bastante tiempo: La topología euclidiana sobre $\mathbb{R}^2$ es homeomórficos con la topología inducida por el módulo de la función en $\mathbb{C}$. Por lo tanto limitar el comportamiento es el mismo en ambos. Así que, ¿eso no significa que el límite que define el complejo derivado converge si y sólo converge en $\mathbb{R}^2$?

Está claro que me estoy perdiendo algo, ya que no toda función derivable $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ es suave, pero con el $\mathbb{C}$ esto es cierto.

P. S.: he leído la pregunta: Es Complejo Análisis equivalente Análisis Real con $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$?, no obstante, no aclarar mi confusión.

Answer 1

Los derivados son lineales mapas que se aproximan a la función dentro de $o$. En otras palabras, si $f$ es diferenciable en a$x$, $f(x+t)=f(x)+A(t)+o(t)$ donde $A$ es lineal en el mapa y $\lim_{t\to 0}\frac{o(t)}{|t|}=0$. Aquí $|t|$ denota la magnitud de $t$, que, como usted ha señalado, es el mismo si vemos a $t$ como un número complejo o una $2$-dimensiones reales del vector.

En el 2-dimensional de un caso real, $A$ puede ser cualquier lineal mapa, es decir,. cualquier $2\times 2$ matriz con entradas en $\mathbb{R}$.

Pero en el caso complejo, $A$ es lineal mapa de 1-dimensional complejo de espacios vectoriales, es decir,. un $1\times 1$ matriz con entradas en $\mathbb{C}$. En otras palabras, $A$ es la multiplicación por algún complejo de número de $z$. Si pensamos en $\mathbb{C}$$\mathbb{R}^2$, $A$ es una rotación (por el argumento de $z$) y la escala (por la magnitud de $z$). No todos los $2\times 2$ lineal mapa es de esta forma.

En suma, usted tiene razón al señalar que la convergencia es el mismo en cada espacio. Real de la diferenciabilidad implica que aproximaciones convergen para algunos lineal mapa, mientras que en el complejo de la diferenciabilidad implica que aproximaciones convergen a una más específica de tipo lineal del mapa, que es por lo complejo de la diferenciabilidad es una condición más fuerte que la diferenciabilidad en $\mathbb{R}^2$.

Answer 2

Bajo el geométrica (clifford) el álgebra de la 2d avión real, complejo de la diferenciabilidad no es más restrictiva que la diferenciabilidad en el real plano 2d, y ambos pueden ser manejados con el mismo formalismo.

El álgebra geométrica del plano 2d no solo ha escalares y vectores pero bivectors, que son ", dirigida áreas". Desde un plano 2d tiene una sola área, el espacio de bivectors es esencialmente un cero-dimensional espacio vectorial. Combinaciones lineales de escalares y bivectors se comportan como los números complejos.

La diferenciabilidad bajo geométricos de cálculo es la condición que $\nabla A = 0$ para cualquier multivector campo $A$. Esto incluye ordinario campos vectoriales así como "complejo valores de los campos". Aquí es una simple ilustración. Deje $w(r) = u(r) + e^x e^y v(r)$ ser el análogo de un campo complejo en el real plano 2d con base $e_x, e_y$. A continuación,

$$\nabla w = (e^x \partial_x + e^y \partial_y) (u + e^x e^y v) = e^x (\partial_x u - \partial_y v) + e^y (\partial_y u + \partial_x v) = 0$$

Estos son los de Cauchy-Riemann condiciones, pero nuestra álgebra en realidad no tienen los números complejos. Esto se maneja con objetos construidos a partir de la 2d avión real.

Ahora considere una (co)campo vectorial $f = f_x e^x + f_y e^y$. El la diferenciabilidad condición se reduce a

$$\nabla f = (\partial_x f_x + \partial_y f_y) + e^x e^y (\partial_x f_y - \partial_y f_x) = 0$$

Los dos términos producir la condición de que el vector de campo han de fuga de la divergencia y la curvatura.

Cómo son estos conceptos relacionados con el complejo de la diferenciabilidad e integrabilidad? A través de este formalismo, podemos ver que muchos de los conceptos en el análisis complejo de llevar a cálculo vectorial. Al $\nabla f = 0$ de esta manera, podemos encontrar el valor de $f$ en cualquier punto dado como tal. Deje $\nabla G = \delta(r)$ ser el de la función de Green para el vector de derivadas. A continuación,

$$\oint G(r-r') \, d\ell' \, f(r') = -\int \delta(r-r') \, dA' \, f(r') = -i f(r)$$

Mira en el lado izquierdo: esta es una integral sobre una curva. Mira a la derecha: esta es proporcional al valor de la función en un punto. El valor de una función está determinada enteramente por sus valores en un delimitador de la curva? Ese es un resultado de análisis complejo! Pero este es un teorema de cálculo vectorial! De hecho, ambos son solo aspectos de la misma más grande, la idea generalizada del teorema de Stokes, o el teorema fundamental del cálculo.

El cálculo de campos complejos es sólo un subconjunto de los cálculos de multivector campos en el plano 2d, y como tal, por lo que muchos de los complejos análisis de los resultados se aplican a campos vectoriales también, la necesidad de condiciones de integrabilidad y así sucesivamente. Que complejo de análisis predominante es la manera de mirar el plano 2d es, para mí, bastante perezoso y se pierde en cómo los campos vectoriales con el derecho propiedades pueden ser perfectamente atado en los teoremas.

Answer 3

El límite que define la $\mathbb{R}^n$ la diferenciabilidad es: $$\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}}\frac{\mathbf{f}(\mathbf{a}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{a})-T(\mathbf{h})}{\left\|\mathbf{h}\right\|}=\mathbf{0}$$ donde $T$ es una transformación lineal. El límite que define la $\mathbb{C}$ la diferenciabilidad es no $$\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)-T(h)}{\left|h\right|}=0$$ pero en lugar $$\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)-T(h)}{h}=0$$ Además, en el caso complejo, también requerimos $T$ a ser un complejo lineal de transformación, no sólo de un lineal de mapa, que debe ser "agradable" hacia el complejo de la multiplicación.Estos dos hechos crear el llamado de Cauchy Riemann Ecuaciones. Usted puede leer más aquí pg 111. En otras palabras, multiplicación y división de números complejos hacer $\mathbb{C}$ differentiabilty mucho más fuerte que $\mathbb{R}^2$ la diferenciabilidad.