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Question

VI algunas resoluciones aquí como $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}- \sqrt{x}$, pero no pude obtener el punto a encontrar $\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{x}$.

Traté de $\frac{1}{x}.(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}})=\frac{\sqrt{x}}{x}\left(\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}} \right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}} \right)$ pero ahora me quedé pegado. ¿Podría alguien ayudar?

Answer 1

Gran $x$ tienes $\sqrt x<x$ y lo $$ \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} < \sqrt{x+\sqrt{2x}} < \sqrt{3x}. $$ Desde $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}/x<\sqrt{3x}/x\to0$ cuando $x\to\infty$, su límite es cero.

Answer 2

$\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x} = \sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x^2}}\\ = \sqrt{\dfrac{1}{x} + \dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x^2}} = \sqrt{\dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x^3}+\sqrt{\dfrac{1}{x^7}}}$

entonces el límite cuando $x \rightarrow \infty$ claramente es $0$

Answer 3

Jonas produce primero la solución, pero yo quería escribir una solución para mi propia edificación.

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Para $x>1$ podemos escribir las siguientes desigualdades,

$$x < x+a\sqrt{x} < (1+a)x\qquad (a>0),$$

Esto nos permite llegar a un superior y límite inferior para el numerador,

$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} < \sqrt{x+\sqrt{2x}}< \sqrt{(1+\sqrt{2})x} = \sqrt{x}\ \sqrt{(1+\sqrt{2})}$$

$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} > \sqrt{x+\sqrt{x}} > \sqrt{x}$$

Así que nuestra función, que nos están tomando el límite de, tiene los siguientes límites,

$$\frac{\sqrt{x}}{x} <\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{x}<\frac{\sqrt{x}}{x}\sqrt{1+\sqrt{2}}, $$

como $x\rightarrow \infty$ la función de $\sqrt{x}/x$$0$. Nuestra función es acotada arriba por algo que va a cero y a continuación por algo que va de cero a cero; este es el llamado teorema del sándwich.

$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{x} = 0.$$