¿Cómo resolverías todas las soluciones de $\sin(2x)=\cos(3x)$ ¿algebraicamente?

Question

Así que mi amigo y yo (ambos profesores de matemáticas de secundaria) hemos estado jugando con una pregunta sobre la búsqueda de todas las soluciones de una ecuación de "cofunción" como la de arriba. Las preguntas típicas de HS piden a los estudiantes que encuentren la solución en Q1 resolviendo $2x + 3x = 90$ .

Estaba pensando en cómo conseguir las otras soluciones y teníamos curiosidad por ver qué hacen otras personas para un problema como éste.

Hemos observado que las soluciones llegan en intervalos regulares desde dos puntos de partida distintos.

A saber, $\frac{\pi}{10} \pm \frac{4k\pi}{10}$ Y $-\frac{\pi}{2} \pm 2k\pi$ { $k$ natural} para la ecuación anterior.

Hemos podido generalizar esto a cualquier ecuación de cofunción de la forma $\sin(ax)=\cos(bx)$ { $a,b$ Integers} , y tenemos curiosidad por saber si otras personas también se han topado con esto.

También hemos descubierto una interpretación geométrica muy interesante de las soluciones periódicas y de dónde se producen.

Nos encantaría saber cómo enfocas este tipo de problemas (algebraicamente, no gráficamente) y si también te has encontrado con estas ideas.

Answer 1

$\sin(2x) = \cos(3x) \Rightarrow \cos(\frac{\pi}{2}-2x) = \cos (3x) \Rightarrow \dfrac{\pi}{2} - 2x = \pm 3x + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Hay otra manera. Puedes utilizar las fórmulas de adición del seno y el coseno para factorizar recursivamente todo el asunto. Requiere mucha paciencia, pero al final obtienes una ecuación cuadrática que puedes resolver.

$\sin (2x)=\cos(3x)$

$2\sin(x)\cos(x)=\cos(2x+x)$

$2\sin(x)\cos(x)=\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)$

$2\sin(x)\cos(x)=(\cos^2(x)-\sin^2(x))\cos(x)-2\sin^2(x)\cos(x)$

Luego se divide todo por $cos(x)$ dándote...

$2\sin(x)=(\cos^2(x)-\sin^2(x))-2\sin^2(x)$

Utilizar la identidad $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$

$2\sin(x)=1-4\sin^2(x)$

Ahora tienes algo que puedes sustituir para resolver una cuadrática. Por ejemplo, digamos $w=\sin(x)$

Entonces su ecuación es como $2w=1-4w^2$ que es realmente $4w^2+2w-1=0$ disfrazado. Resuelve el resto por tu cuenta.

Answer 3

Una forma es utilizar la identidad

$$\sin \cos^{-1} = \sqrt{1 - x^2}$$

después de hacer algunas sustituciones. Hay una familia de similares identidades para otras funciones trigonométricas.

Answer 4

$$ \sin 2x = \sin ( \pi/2 -3 x) $$ $$ 2 x = \pi/2 - 3 x, 2 x = \pi - \pi/2 + 3 x $$ $$ x = \pi/10, -\pi/2 $$

y todos los ángulos co-terminales.