Tychonoff ' Teorema de s $[0,1]^\mathbb{R}$

Question

De acuerdo con el teorema de Tychonoff cualquier innumerables producto de espacios compactos es compacto, con respecto a la topología producto.

A continuación,$[0,1]^\mathbb{R}$, el espacio de todas las funciones definidas en $\mathbb{R}$ tomando valores en $[0,1]$ es compacto w.r.t. el producto de la topología.

Considere la función $\delta_0(x)=\max(0,\min(x,1))$ sobre los números reales y $\delta_t(x)=\delta_0(x-t)$. Para $t\to\infty$, parece que no es convergente sub-secuencia y otra vez parece que $[0,1]^\mathbb{R}$ es entonces no compactas o secuencialmente compacto?

Puede alguien señalar el problema que tengo? Gracias.

Answer 1

La topología del producto es la topología de convergencia del pointwise; sus funciones convergen pointwise a la función cero.

Tienes razón que $[0, 1]^{\mathbb{R}}$ no es secuencialmente compacto; Creo que $f_n(x) = |\sin nx|$ es un contraejemplo explícito, pero no he comprobado cuidadosamente. Pero ni compacidad secuencial ni compactación implica otro en general (y en particular $[0, 1]^{\mathbb{R}}$ no es metrizable).

Answer 2

Ver ejemplo de la sección 21 de Munkres topología 2 (Página 133). Esto demuestra que el conjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ no es metrizable en la topología producto. En particular, $[0,1]^{\mathbb{R}}$ no es metrizable, aunque Tychonoff nos dice que es compacto. Consistencia y compacidad secuencial son equivalentes para espacios métricos. Qiaochu Yuan proporciona un contraejemplo adecuado.

Edición: Sección 28 de la misma referencia demuestra este punto.