Convergencia uniforme de $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin \left(\frac{x}{n^2}\right)$

Question

Por favor alguien puede comprobar las respuestas?

Considerar la serie de $$\sum\limits_{n=1}^\infty \sin \left(\frac{x}{n^2}\right)$$

Demostrar que la serie converge uniformemente en el intervalo acotado $[-M, M]$, para cualquier $M > 0$.

Tenga en cuenta que para todos los números reales $y$, $$|\sin y| \leq |y|$$

Por lo tanto, para todos los $M > 0$,$$\left|\sin \left( \frac{x}{n^2}\right)\right| \leq \left|\frac{x}{n^2} \right| \leq \frac{M}{n^2}$$

Por la M de Weierstrass de la prueba, la serie converge uniformemente en $[-M, M]$.

A lo que la función hace que esta serie converge pointwise?

Estoy atascado aquí.

Answer 1

Para encontrar la función de límite, se puede simplemente considerar el Taylor serie de $\sin\left(\frac{x}{n^2}\right)$ y suma $n$ (el interruptor de suma es legítimo bajo la convergencia uniforme): $$\sin z = \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m z^{2m+1}}{(2m+1)!},$ $ $$\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\frac{x}{n^2}=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m \zeta(4m+2)}{(2m+1)!}x^{2m+1}.\tag{1}$ $