No sé cómo abordar correctamente este problema. El enunciado es el siguiente:
Supongamos que $X$ tiene un binomio $(n,p)$ distribución y dejar que $Y$ tienen una binomial negativa $(r, p)$ distribución (abajo) . Demuestre que $F_X (r 1) = 1 F_Y (n r)$ .
Llevo varias horas intentando encontrar una solución, pero todo mi trabajo parece ir básicamente en círculos sin llegar a una prueba real.
Tengo entendido que $F_X (r - 1)$ es la FDA que demuestra las probabilidades de que $r-1$ los éxitos se han producido antes de que se hayan realizado una cierta cantidad de ensayos, y $F_Y (n-r)$ es la probabilidad de que $n-r$ fracasos se han producido antes de una cantidad determinada de éxitos. Juntos, suman el espacio muestral de posibilidades, es decir, dentro de $r-1+n-r$ ensayos (es decir $n-1$ ensayos), se ha producido un número determinado de éxitos y fracasos, con el $r^\text{th}$ éxito en la $n^\text{th}$ juicio. Sin embargo, no veo cómo demostrar matemáticamente que estas dos distribuciones son complementarias.
