Intuición detrás del producto triple de Jacobi

Question

Identidad de producto triple de Jacobi afirma que:

$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{\infty}z^{n}q^{n^{2}} = \prod_{n = 1}^{\infty}(1 - q^{2n})(1 + zq^{2n - 1})(1 + z^{-1}q^{2n - 1})$

He visto una complicada prueba de ello, pero todavía no tengo ningún sentimiento de por qué debe ser verdadero. ¿Hay alguna intuición detrás de él? (O por lo menos algún argumento combinatoria razonablemente agradable...)

Answer 1

Las notas de la conferencia de Igor Pak "Partición bijections, una encuesta de" dar varios agradable combinatoria de las pruebas en el capítulo $6$ - Jacobi de la triple identidad del producto: http://www.math.ucla.edu/~pak/papers/psurvey.pdf. Tal vez es una cuestión de gusto lo que la intuición detrás de él. Esto implica, ciertamente, mucho más que sólo un buen argumento combinatorio, por ejemplo, funciones elípticas, Jacobi theta funciones, etc., ver el interesante debate aquí: Motivación para el/la historia de Jacobi de la triple identidad del producto.