Estoy dando clases particulares a una chica de 8º de primaria (por lo que tiene 14 años) y hace poco tuvo un capítulo de matemáticas sobre números. En el último párrafo introdujeron la diferencia entre números racionales e irracionales. Después de eso dieron dos ejemplos de un número irracional, a saber $\pi$ y $\sqrt 2$ . En el libro no se demostró que estos números fueran realmente irracionales.
Los ejercicios empezaron con algunas preguntas fáciles, pero luego se planteó lo siguiente:
Es $\pi^2$ ¿racional o irracional?
Inmediatamente pensó que tenía que ser irracional porque $\pi$ es. Le expliqué que este argumento es falso ya que $\sqrt{2}^2=2\in\mathbb{Q}$ . Recordé que $\pi$ es transcedental por lo que $\pi^2$ no puede ser racional. Sin embargo, como sólo está en 8º curso y la noción de irracional acaba de ser introducida, no pude hablarle de campos, polinomios mínimos y cosas así.
¿Alguien conoce una prueba elemental del hecho de que $\pi^2$ ¿no es racional?
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A menos que el libro dijera que $\pi$ fue trascendental, no creo que haya dado suficiente información para hacerlo. (Suponiendo que no se espera que ella utilice el cálculo y similares).
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Ya lo sospechaba ;-)
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Como dice alex, el autor probablemente quería preguntar si $\sqrt{\pi}$ es irracional.
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Es posible que el autor esté poniendo a prueba la intuición de los alumnos con esta pregunta. Un alumno típico de 8º curso no tendría ni de lejos los métodos necesarios para demostrar o entender una prueba. Más bien, yo digo que depende de ellos descubrir que este número $\pi$ tiene un $flavor$ que los demás, y a ti te corresponde entonces afinar sus sospechas como lo haría un cuentacuentos, con grandeza y misticismo. Deberían darse cuenta de que los exponentes no pueden forzar la racionalidad y que los números no racionales pueden dejarnos a los humanos un poco aturdidos sobre cómo manejarlos.