¿Cómo se puede demostrar la siguiente afirmación?
Abelio elemental $p$ - grupo de orden $p^n$ tienen el máximo número de subgrupos normales entre todos los $p$ -grupos del mismo orden.
¿Es cierto?
Gracias de antemano
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a probar un resultado más fuerte: Un grupo abeliano elemental p tiene estrictamente más subgrupos que cualquier otro grupo del mismo tamaño. Como todo subgrupo de un grupo abeliano es normal, esto responde a la pregunta.
Dejemos que $G$ ser un $p$ -grupo de tamaño $p^n$ y arreglar algunos $0 \leq k \leq n$ . Vamos a limitar el número de subgrupos $H \subset G$ con rango $k$ . Cualquier subgrupo de este tipo está generado por $k$ elementos, pero pueden ser generados de muchas maneras diferentes. De hecho, según el teorema de la base de Burnside, un $k$ -El subconjunto de elementos genera $H$ si y sólo si es una base para el $\mathbb{F}_p$ espacio vectorial $G/\Phi(G)$ . Así que para cada $H$ siempre hay al menos $(p^k-1)(p^k-p)\ldots(p^k-p^{k-1})$ diferentes opciones que dan el mismo $H$ . Así, el número total de $H$ de rango $k$ es como máximo $$\frac{(p^n-1)(p^n-p)\ldots(p^n-p^{k-1})}{(p^k-1)(p^k-p)\ldots(p^k-p^{k-1})}.$$
Pero esa fórmula da exactamente el número de subgrupos de rango $k$ de un grupo abeliano elemental de tamaño $p^n$ por lo que el máximo número posible de subgrupos de un $p$ -de un tamaño determinado se realiza mediante un subgrupo abeliano elemental.
Ahora bien, todavía no he demostrado que los grupos p abelianos elementales sean los únicos grupos p que alcanzan el máximo. Para ello consideremos el caso $k=n$ . Para alcanzar el máximo debe haber un subgrupo de G con rango n, pero esto implica que G es abeliano elemental.
