Calcular el límite de $\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}$

Question

Dejemos que $f(x),f:R\to R$ sea una función continua no constante tal que $$\left(e^x-1\right)f(2x)=\left(e^{2x}-1\right)f(x)\,.$$ Si $f'(0)=1$ entonces

$$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}$$

Mi enfoque :

Bueno, es que no me hago a la idea de cómo empezar, separé el $f(x)$ términos y trató de resolver pero no llegó a ninguna parte.

Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Reescribe la ecuación como $$ f(2x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}f(x) = (e^x + 1)f(x) $$

Dejemos que $L = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}$ Suponiendo que este límite exista. Nótese que $$ L = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{f(2x)}{2x}\right)^{1/(2x)} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{e^{x} + 1}{2}\frac{f(x)}{x}\right)^{1/(2x)} = \\ \sqrt{ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{e^{x} + 1}{2}\right)^{1/x} \lim_{x \to \infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}} = \sqrt{eL} $$ Concluir que si el límite existe y es distinto de cero debe ser el caso que $L = e$ .

El hecho de que $f'(0) = 1$ nos dice que $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 1 $$ pero no estoy seguro de que esto sea relevante.

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Nota: Que $x_0 > 0$ sea tal que $f(x_0) \neq 0$ . Porque $f(2x)/f(x) = e^x + 1$ podemos concluir que (de nuevo, suponiendo que el límite existe) $$ L = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{f(2^nx_0)}{2^nx_0}\right)^{1/(2^nx_0)} \geq\\ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{[e^{x_0} + 1]^{2^n}f(x_0)}{2^nx_0}\right)^{1/(2^nx_0)} $$ Por lo tanto, basta con demostrar que $$ \lim_{m \to \infty} \left(\frac{[e^{x_0} + 1]^{m}}{m}\right)^{1/m} = e^{x_0} + 1 > 0 $$

Answer 2

Supongamos que $$ L=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{f(x)}x\right)^{1/x} $$ existe. Entonces $$ \begin{align} L&= \lim_{x\to\infty}\left[\left(\frac{f(2x)}{2x}\right)^{1/(2x)}\frac{\left(\frac{f(2x)}{2x}\right)^{1/(2x)}}{\left(\frac{f(x)}x\right)^{1/x}}\right]\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{f(2x)}{2x}\right)^{1/x}}{\left(\frac{f(x)}x\right)^{1/x}}\\ &=\lim_{x\to\infty}\left(\frac12\frac{e^{2x}-1}{e^x-1}\right)^{1/x}\\[9pt] &=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{e^x+1}2\right)^{1/x}\\[12pt] &=e \end{align} $$

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Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \frac{\frac{f\left(2^{n+1}\right)}{2^{n+1}}}{\frac{f\left(2^n\right)}{2^n}} &=\frac12\frac{e^{2^{n+1}}-1}{e^{2^n}-1}\\ &=\frac{e^{2^n}+1}2 \end{align} $$ Esto significa que $\frac{f\left(2^n\right)}{2^n}$ es creciente para todos los $n\in\mathbb{Z}$ . Desde $f'(0)=1$ obtenemos $$ \begin{align} \lim_{n\to-\infty}\frac{f\!\left(2^n\right)}{2^n} &=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x\\[6pt] &=1 \end{align} $$ Por lo tanto, para todos los $n\in\mathbb{Z}$ , $$ \left(\frac{f(2^n)}{2^n}\right)^{1/2^n}\ge1 $$ Esto significa que, si existe, $$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}\ge1 $$ En particular, el límite no es $0$ .

Answer 3

A partir de la ecuación $$f(x)=\frac{e^x-1}{e^{\frac{x}{2}}-1}f(\frac{x}{2})=\frac{e^x-1}{e^{\frac{x}{2}}-1}\frac{e^{\frac{x}{2}}-1}{e^{\frac{x}{2^2}}-1}f(\frac{x}{2^2})$$

Por inducción $$f(x)=\frac{e^x-1}{e^{\frac{x}{2^n}}-1}f(\frac{x}{2^n})$$

Desde $f(2x)=(e^x+1)f(x)$ podemos ver que $f(0)=0$ . De este modo, se permite $n \to \infty$ en ambos lados de la ecuación anterior tenemos $$f(x)=(e^x-1)\lim_{n \to \infty}\frac{f(\frac{x}{2^n})}{e^{\frac{x}{2^n}}-1}=e^x-1$$

Entonces se ve que el límite es $e$ .