Pregunta 1:
Me piden demostrar que existe una $n\in\mathbb{N}$ tal que $$\frac{1}{n+1}\leq\frac{a}{b}<\frac{1}{n},$$ donde $0<\frac{a}{b}<1$. Aquí $\frac{a}{b}$ es una fracción en su mínima expresión.
Q1(Pensamientos):
Si $\frac{1}{n+1}\leq\frac{a}{b}<\frac{1}{n},$, luego con un poco de álgebra tenemos que $$0\leq\frac{an^2-bn+a}{b}<1,$$ así que desde $0<\frac{a}{b}<1$ podemos establecer $an^2-bn+a=a$ a conseguir ese $an^2-bn=0$, lo que produce $$n=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4a\cdot 0}}{2a}=\frac{b\pm b}{2a},$$ y desde $n\neq 0$, entonces tenemos que $n=\frac{b}{a}$.
OK, así que estaba totalmente equivocado, pero tengo que $\frac{a}{b}\in[\frac{1}{2},1)\implies n=1,$ $\frac{a}{b}\in[\frac{1}{3},\frac{1}{2})\implies n=2$, y así sucesivamente ad infinitum, pero no sé que esto es una prueba. Aunque parece que no importa lo $\frac{a}{b}\in\bigcup^{\infty}_{n=1}[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$.
Pregunta 2:
Si $n$ es elegido como en la Q1, demostrar que $\frac{a}{b}-\frac{1}{n+1}$ es una fracción en su mínima expresión tiene un numerador menor que $a$.
Q2(Pensamientos):
Creo que esto podría tener algo que ver con $n<\frac{b}{a}$.
Voy a añadir más a esta como me voy, pero mi pregunta es, esencialmente, algo así como "esto Es correcto?"
