Hay muchas caracterizaciones de la topología usual en $V$ que no implican una elección de una base. Probablemente la más importante es:
- La topología usual en $V$ es la única topología que hace que $V$ un espacio vectorial topológico. Es decir, es el único de $T_0$ topología que hace que además de la $V\times V\to V$ y la multiplicación escalar $\mathbb{R}\times V\to V$ continuo.
Este es un estándar teorema en el análisis funcional. Ver Cómo dotar a la topología en un número finito de dimensiones topológicas espacio vectorial?, por ejemplo.
Aquí están algunas otras caracterizaciones. Las pruebas son fáciles y les dejo para que usted descubra.
- La topología usual en $V$ es el más áspero de la topología que hace que todos lineal mapas de $V\to \mathbb{R}$ continuo.
- La topología usual en $V$ es el más áspero de la topología que hace que todos lineal mapas de $V\to \mathbb{R}^n$ continua para todos los $n\in\mathbb{N}$.
- La topología usual en $V$ es de los mejores de la topología que hace que todos lineal mapas de $\mathbb{R}^n\to V$ continua para todos los $n\in\mathbb{N}$.
Tenga en cuenta que el "doble" de la primera de estas tres no es correcta: la topología usual en $V$ es no de los mejores de la topología en $V$ que hace que todos lineal mapas de $\mathbb{R}\to V$ (o incluso todos los afín mapas de $\mathbb{R}\to V$) continuo, al menos no si $\dim V>1$. En efecto, como cada cálculo multivariable estudiante aprende, hay funciones de $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ cuyas restricciones a cualquier línea son continuos, pero que no son continuas.
