Lema 1
Deje $A$ ser un álgebra conmutativa de la finitos tipo sobre un campo $k$.
Entonces existe un ideal maximal $P$ $A$ tal que $A/P$ es finita $k$-módulo.
Prueba:
Si cada elemento de a $A$ es algebraico sobre$k$, $A$ es finita $k$-módulo. Por lo tanto, el lema es trivial.
Por lo tanto podemos suponer lo contrario.
Por Noether normalización lema (esto puede ser probado sin AC), existen algebraicamente independientes elementos $x_1,\dots, x_n$ $A$ tal que $A$ es un finitely módulo generado durante el polinomio anillo de $A' = k[x_1,\dots, x_n]$.
Deje $\mathfrak{m} = (x_1,\dots, x_n)$ a ser el ideal de $A'$ generado por $x_1,\dots, x_n$.
Claramente $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal de a $A'$.
Por la respuesta por QiL a esta pregunta, existe un primer ideal $P$ $A$ se encuentra por encima del $\mathfrak{m}$.
Desde $A/P$ es un finitely generado en el módulo $k = A'/m$, $P$ es un ideal maximal.
QED
Lema 2
Deje $A$ ser un álgebra conmutativa de la finitos tipo sobre un campo k.
Deje $f$ ser un no-nilpotent elemento de $A$.
Entonces existe un ideal maximal $P$ $A$ tal que $f \in A - P$.
Prueba:
Vamos $S$ = {$f^n; n = 1, 2, \dots$}.
Deje $A_f$ ser la localización con respecto a $S$.
Por el Lema 1, existe un ideal maximal $\mathfrak{m}$ $A_f$ tal que $A_f/\mathfrak{m}$ es finita $k$-módulo.
Deje $P$ ser la inversa de la imagen de $\mathfrak{m}$ por la canónica de morfismos $A \rightarrow A_f$.
$A/P$ puede ser identificado con una subalgebra de $A_f/\mathfrak{m}$.
Desde $A_f/\mathfrak{m}$ es finita $k$-módulo, $A/P$ es también finita $k$-módulo.
Por lo tanto $P$ es un ideal maximal.
Claramente $f \in A - P$.
QED
El título del teorema se sigue inmediatamente de la siguiente lema reemplazando $A$$A/I$.
Lema 3
Deje $A$ ser un álgebra conmutativa de la finitos tipo sobre un campo k.
Deje $\Omega(A)$ el conjunto de los máximos ideales de la $A$.
Deje $f$ cualquier elemento de $\cap_{\mathfrak{m} \in \Omega(A)} \mathfrak{m}$.
A continuación, $f$ es nilpotent.
Prueba:
De esta manera se sigue inmediatamente del Lema 2.
