Comienza con una matriz de Markov $\mathbf{M}$, cuyos elementos están todos entre $0 \le \mathbf{M}_{ij} \le 1$ y cada fila suma uno. Existe una conexión natural entre esta matriz y la matriz de tasas $\mathbf{W}$ en la Ecuación Maestra
$$ \mathbf{M} = \exp( t \mathbf{W} ) $$
Aquí, dado $\mathbf{W}$, el cálculo de $\mathbf{M}$ es único con $t$ ya que la exponencial de matriz es única y converge por la expansión de Taylor. ¿Qué tal en la otra dirección?
$$ t \mathbf{W} = \log( \mathbf{M} ) $$
¿Las propiedades de la matriz de Markov garantizan que esto sea único y que la suma alterna en la serie de Taylor de log converja?
¡Por favor, proporcione una referencia donde se discuta esto si es posible!
Motivación (por solicitud)
He estado estudiando la dinámica asociada con un sistema tipo modelo de Ising bajo dinámicas de Glauber de flip de un solo espín. Las dinámicas de Glauber dan, esencialmente, la matriz $\mathbf{W}$. Si uno observara el sistema durante un tiempo finito, se podría hacer una aproximación a $\mathbf{M}$. Me interesaba saber cuándo era permisible convertir entre las dos. En la referencia proporcionada por una de las respuestas, la pregunta se reduce a:
En términos probabilísticos, una matriz de Markov A es incrustable si se obtiene tomando una instantánea en un momento particular de un proceso de Markov finito autónomo que se desarrolla continuamente en el tiempo. Por otro lado, una matriz de Markov podría no ser incrustable si describe los cambios anuales en una población que tiene un patrón de reproducción fuertemente estacional; en tales casos, se podría construir un modelo más elaborado que incorpora las variaciones estacionales. La incrustabilidad también puede fallar porque las entradas de la matriz no son precisas; en tales casos, una técnica de regularización podría producir una matriz de Markov muy similar que sea incrustable;
