¿Cómo implica el teorema de Hahn-Banach la existencia de una solución débil?

Question

Me encontré con la siguiente pregunta al leer el capítulo 17 del libro de Hormander "Tha Analysis of Linear Partial Differential Operators", y el teorema es

Dejemos que $a_{jk}(x)$ sea continua de Lipschitz en un conjunto abierto $X\subset\mathbb{R}^n$ , $a_{ij}=a_{ji}$ y suponer que $(\Re a_{ij}(x))$ es positiva definida. Entonces $$ \sum_{ij} D_j(a_{jk}D_ku)=f $$ tiene una solución $u\in H_{(2)}^{loc}(X)$ por cada $f\in L_{loc}^2(X)$

El autor dice entonces que si podemos demostrar que $$ |(f,\phi)|\leq \|M \cdot\sum_{ij} D_j(\bar{a_{jk}}D_k\phi) \|_{L^2}, \quad \phi\in C_c^{\infty}(X) $$ para alguna función continua positiva $M$ entonces por el teorema de Hahn-Banach existe algún $g\in L^2$ $$ (f,\phi)=\left(g,M\cdot\sum_{ij} D_j(\bar{a_{jk}}D_k\phi)\right) $$ lo que implica que la solución débil es $u=Mg$ . lo que me confunde es cómo se utiliza aquí el teorema de Hahn-Banach para demostrar la existencia de $g$ .

Gracias por su ayuda

Answer 1

No lo he resuelto, pero lo que tengo puede ser útil y es demasiado largo para un comentario.

Recordemos que $C_c^\infty$ es un subconjunto lineal denso de $L^2$ . Así que por el teorema de Hahn-Banach existe una extensión que preserva la norma de $(f,\phi)$ a $(L^2)^*$ . Entonces, como $(L^2)^*$ es un espacio de Hilbert, el teorema de representación de Riesz nos dice que esta extensión tiene la forma $\phi^{**}\longmapsto (g,\phi^{**})$ para algunos $g \in (L^2)^{**}$ . Identificación de $(L^2)^{**}=L^2$ luego nos dice $ (f,\phi) = (g,\phi) $ para todos $\phi \in L^2$ .

Answer 2

Definir lo funcional:

$$k(M Lw)=\int_{X} fw$$

donde $L$ es el opeartor diferencial.

Este es un funcional acotado gracias a la estimación que estás asumiendo, también fíjate que utilizas la estimación para comprobar que $k$ está bien definida .

Entonces, gracias al teorema de Hahn-Banach se puede extender el dominio de este funcional a todo el $L^{2}$ como mención nullUser.

Finalmente se utiliza el teorema de Riesz-Representación para obtener la solución.