¿Por qué el estudio de la infinita cardenales, los números ordinales y los como tan frecuente en la teoría de conjuntos y la lógica? Lo interesante de infinito cardenales más allá de $\aleph _0 $$\mathfrak{c} $? Parece que están suficiente para todos los fines prácticos y no parecen hacer estallar para arriba en la matemática pura también.
Respuestas
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Es cierto, cuando sólo trabaja en teoría de la medida, o la teoría algebraica de números, o el análisis clásico, es poco probable que se ejecute en más de $\frak c$.
Pero si usted comienza a trabajar en arbitraria campos, y arbitrario de los módulos, o arbitraria de los anillos. No sólo finitely generado, o countably generado. Entonces usted necesita para tener una mejor comprensión de cómo los infinitos comportarse.
Además, hay preguntas en el análisis de cuyas respuestas se decidió por la existencia de grandes cardenales (donde por el gran cardenal, no me refiero a $\aleph_{2412}$, sino más bien un término técnico en la teoría de conjuntos, que implica la existencia de cardenales cuyo tamaño enanos $\frak c$ a la insignificancia). Preguntas como Lebesgue medición, determinación, y así sucesivamente.
Usted puede preguntar si o no todo normal Moore espacio metrizable. Y la pregunta es independiente de $\sf ZFC$, y las pruebas incluyen una profunda comprensión de los números ordinales, muy grandes cardenales, combinatoria y la estructura de sus subconjuntos.
Sí, es cierto, usted nunca se quedará en algo más grande que $2^\frak c$ si todo lo que importa es que aplica las matemáticas o la física matemática. Pero, al mismo tiempo, usted no podrá ejecutar en cualquier multitud innumerable si sólo se limite a definibles conjuntos de números enteros, y nunca se va a ejecutar en un conjunto infinito si sólo se limite a las delimitada conjuntos de números enteros.
Las matemáticas se desarrolla orgánicamente. A partir de una pregunta que extraer ciertas abstracciones y seguimos caminando hacia nociones generales y nociones abstractas. Esa es la naturaleza de la matemática moderna, no queremos limitarnos donde no tenemos. Pero el resultado es que si no se sentaron a aprender algo, usted puede tener un tiempo difícil de entender "¿por qué es interesante, otra que 'suena cool'?"
jcho360
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128
"Wir müssen wissen. Wir werden wissen." (D. Hilbert)
Gödel los teoremas de incompletitud decir que sin embargo nos axiomatise matemáticas, siempre habrá teoremas que son verdad, pero no es demostrable en cualquier axiomatisation. Con el fin de probar teoremas, necesitamos agregar más potente axiomas, a prueba de principios. Usted puede pensar que estas más infinitos, como tal, más poderosa prueba de principios.
No es fácil llegar con más poderosa prueba de principios, por el peligro de inconsistencia.
Harvey Friedman ha hecho un montón de trabajo en mostrar ejemplos de declaraciones de ordinario el que las matemáticas son sólo demostrable con gran cardianl axiomas. Véase, en particular, su libro sobre booleano relación de la teoría.
Shery
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16
Es cierto que los grandes cardenales a menudo no aparecen de forma explícita en la mayoría de las matemáticas. Sin embargo, la parte superior de la cabeza, no puedo pensar de dos maneras en que podrían ser pertinentes para el "normal" de las matemáticas.
Para uno, cuando se considera la clase de los objetos matemáticos, es bueno tener algo así como un objeto universal. Estos objetos universales a veces puede ser bastante grande en la cardinalidad, incluso si inicialmente se considere sólo una clase de objetos que no son muy grandes por sí mismos. (Esto está relacionado con los conceptos de lo universal, el dominio en el álgebra universal y el monstruo del modelo en el modelo de la teoría.) Además, a menudo es más fácil encontrar los objetos universales si asumimos la existencia de grandes fuertemente inaccesible cardenales.
El otro es, gran cardenal axiomas parece ser eficaz en la expresión de la coherencia de la fuerza, y otros, al parecer, más bien esotérico conjunto teórico-declaraciones pueden estar estrechamente relacionados con algunos de los "concretos" declaraciones en "normal" de las matemáticas. Como consecuencia, muchos de los principios abstractos se cree que es "intuitivamente verdadero" para algunos matemáticos (como el axioma de elección para la mayoría de nosotros, a pesar de su contra-intuitivo consecuencias). Hay muchas declaraciones que sabemos que son ciertas o no, independientemente de los axiomas (e incluso el axioma de elección), pero que está lejos de todos los que queremos decidir.
Burak
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502
Como Asaf, señaló, una vez que usted comience a trabajar con objetos de dimensiones arbitrarias, entonces usted necesita para entender cómo los diferentes infinitos comportarse.
Además de esta razón obvia para el estudio de los cardenales, como ya se ha sugerido, no es cierto que usted no se quede en los cardenales más grande que la continuidad o no de pop-up en la práctica. Usted podría ser simplemente haciendo las preguntas equivocadas para las grandes cardenales a participar. Yo, personalmente, creo que en todos los campos de las matemáticas, si usted pide las preguntas adecuadas, entonces usted tendrá que involucrar aparentemente irrelevantes conjunto teórico de los objetos. Al menos, esta ha sido mi experiencia desde que comencé a aprender acerca de la independencia de los resultados.
Permítanme darles algunos ejemplos famosos. Elegir un subconjunto de Borel $\mathbb{R}^2$, de proyecto y, a continuación, tomar el complemento. Si el conjunto resultante es incontable, no necesariamente contienen un perfecto conjunto?
La declaración de este problema implica ningún conjuntos de cardinalidad mayor que la continuidad y la pregunta parece completamente topológico/medida teórica. Así, se podría pensar que por qué en la tierra se debe a la respuesta de involucrar a cualquiera de los infinitos que están obviamente relacionados con estos?
Por otro lado, si usted quiere tener una respuesta positiva a esta pregunta, la respuesta requiere de grandes cardenales (por ejemplo, usted necesita este tipo de cardenales). Una respuesta negativa también será implícita por parte de algunos axiomas que van más allá de ZFC (como este por ejemplo).
El punto que estoy tratando de hacer es que la existencia de muy grandes infinitos puede afectar el comportamiento de los pequeños infinitos. Se ejecutan en gran infinitos en la práctica, sólo están en el disfraz hasta que se revelan las conexiones!
Denis
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5113
La respuesta de Martin Berger no está claro, pero creo que hay un punto, permítanme reformular aquí. No contradice la otra respuesta de bof, que estoy totalmente de acuerdo con.
Incluso si algunas abstracciones parecen muy lejos de la realidad, que realmente nos pueden ayudar a descubrir "práctico" de las cosas, nos proporcionan más poderosas herramientas a prueba. De hecho, algunos muy abstracto conjunto de supuestos teóricos pueden ayudar a demostrar la consistencia de algunas de las conjeturas, por lo tanto muestra que no vamos a encontrar una prueba de lo contrario.
Por ejemplo, cualquier prueba obtenida usando el axioma de elección se puede argumentar que nonpractical, porque los objetos no pueden ser construidos de manera explícita. Pero al menos no vamos a tratar de encontrar una prueba en ZFC que de Banach-Tarski es imposible, o negar a algunos otros aparentes paradojas.
Otro ejemplo interesante de la especie ha sido recientemente aceptado para su publicación en ICALP 2014 (pero aún no publicado): el objetivo era encontrar un algoritmo para decidir satisfiability de una cierta lógica. Se ha demostrado que bajo ciertas "exóticos" (al menos para los científicos de la computación) conjunto teórico supuestos como V=L, podemos demostrar que este algoritmo no existe. Por lo tanto, el conocimiento práctico que es una pérdida de tiempo para buscar un algoritmo, y es gracias a conjunto de los teóricos de la...
Otros ejemplos de axiomas independientes de ZFC aplicada a ciencias de la computación se puede encontrar aquí: http://cstheory.stackexchange.com/questions/5934/results-in-theoretical-cs-independent-of-zfc
