Sólo veo numérico enfoques para resolver esta ecuación. Existe una solución analítica para resolver $x$ como una función de la $y$ para el rango de $(0,2 \pi)$? Si no hay solución, es posible la prueba?
Respuesta
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vps
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Para una plena y completa respuesta usted puede desear mirar en la inversión de la energía de la serie, aunque no he comprobado el teorema de la función inversa condiciones para este fondo. Sin embargo, aquí está mi $O(y^5)$-vale la pena tomar en ella: $$y=\frac{\frac{x^{3}}{6}+O\left(x^{5}\right)}{\frac{x^{2}}{2}+O\left(x^{4}\right)}=\frac{2}{x^{2}}\frac{\frac{x^{3}}{6}+O\left(x^{5}\right)}{1+O\left(x^{2}\right)}=\frac{2}{x^{2}}\left(\frac{x^{3}}{6}+O\left(x^{5}\right)\right)\left(1+O\left(x^{2}\right)\right)=\frac{2}{x^{2}}\left(\frac{x^{3}}{6}+O\left(x^{5}\right)\right)=\frac{x}{3}+O\left(x^{3}\right)$$ $$x=3y+O\left(y^{3}\right)$$ $$x=\left(1-\cos x\right)y+\sin x=\frac{3y^{3}}{2}+O\left(y^{5}\right)+3y+O\left(y^{3}\right)-\frac{1}{6}\left(27y^{3}+O\left(y^{5}\right)\right)=3y-3y^{3}+O\left(y^{5}\right)$$
No estoy del todo (ni meromorphically) confianza sobre el último término en la $\frac{1}{6}$ entre paréntesis en la última línea, sin embargo Grapher me dice que no estoy demasiado lejos de la verdad
