¿Qué debería aprender a continuación para las matemáticas puras?

Question

Puedo hacer cálculo básico de una sola variable, que es básicamente todo lo que se hace en el nivel A en el Reino Unido. También acabo de leer "¿Qué son las matemáticas?", de Richard Courant, que me ha parecido muy bueno. Me gustaría saber hacia dónde dirigirme cuando termine la redacción de pruebas y los libros de matemáticas discretas básicas que estoy leyendo actualmente. ¿Debería estudiar análisis real? ¿Qué libro? ¿Algebra lineal?

Agradecería que me aconsejaran por dónde seguir y qué libro sería bueno. Actualmente tengo 14 años y mi objetivo final sería convertirme en un matemático puro.

La razón por la que hago esta pregunta es porque estaba intentando crear una estructura y pensé en el plan de física de Gerard t'Hooft o incluso en el de matemáticas puras o estadística, pero no parecen particularmente específicos en lo que se supone que debes hacer, es decir, llaman a un tema cálculo y a otro posterior cálculo vectorial y luego análisis, pero como matemático puro quiero ir directamente al análisis, de los reales obviamente. En conclusión, lo pregunto porque ahora voy a ir por pasos y elegir el siguiente tema según venga.

Gracias de antemano.

EDITAR:

¿Funcionaría esto?

Para...

Matemáticas Discretas Elementales, Análisis Real, Álgebra lineal, EDO's, Probabilidad, Análisis de Fourier, Análisis Complejo, EDP, Cosas de posgrado a las que llegaré cuando sea necesario.

No estoy seguro de que la probabilidad sea necesaria, pero creo que será interesante.

Answer 1

Creo que tiene razón al inclinarse por el análisis. Es el primer paso habitual hacia las matemáticas puras, tal y como describes tu inclinación. El álgebra lineal se puede hacer en varios niveles, pero creo que se hace mejor en un contexto riguroso después del análisis real.

En el análisis real te familiarizarás con las demostraciones, empezarás a acumular un vocabulario matemático arraigado, así como a aprender sobre topología, espacios métricos, conceptos como convergencia, continuidad, etc. También suele haber un componente que presenta el material de cálculo sobre una base rigurosa. Esto te dará una idea de la diferencia entre la mecánica operativa y las matemáticas puras que hay detrás.

Te sugiero que eches un vistazo a este conjunto gratuito de apuntes de conferencias impartidas por Vaughan Jones (ganador de la medalla Fields, equiv. al premio Nobel de matemáticas). Son realmente hermosas, son autocontenidas, y construyen muy bien desde un nivel que no requiere experiencia previa.

https://sites.google.com/site/math104sp2011/lecture-notes

Answer 2

No estoy muy seguro de lo que quieres decir con "cálculo básico de una sola variable", pero para aquellos que no son del Reino Unido, creo que vale la pena resumir brevemente el cálculo involucrado en las matemáticas de nivel A (para aquellos que no están en el conocimiento, los niveles A son (por lo general) se extendió a lo largo de dos años, por lo que voy a enumerar como en los años 1 y 2):

• Año $1$ - Diferenciación e integración básica de polinomios y funciones de la forma $x^a$ para $ a \neq -1$ (ya que la mayoría de los alumnos ni siquiera aprenderán la definición de diferenciación, sólo la regla), el cálculo de los puntos estacionarios para los puntos cúbicos y las condiciones suficientes para que el punto de inflexión sea un máximo/mínimo/punto estacionario local
• Año $2$ - Diferenciación e integración de funciones de la forma $ x^{-1}$ En el curso de este curso, se estudian las funciones trigonométricas, la función exponencial y la función logarítmica. En ella se tratan las reglas de la cadena, del producto y del cociente, así como los métodos de integración por sustitución y de integración por partes (sin demostración).

Aunque la lista anterior no es completamente exhaustiva, creo que cubre la mayor parte de lo que cubrí en el nivel A (que fue sólo hace un año, ¡pero un año en la universidad estudiando matemáticas es mucho tiempo!)

De todos modos, en cuanto a la respuesta a la pregunta, creo que algunos buenos lugares para empezar son:

• Cálculo por Spivak - Se trata de un libro que actúa como una buena introducción al análisis real, construyendo toda la teoría del cálculo de un solo valor a partir de los primeros principios (esto incluye un tratamiento de los sistemas de números reales)

• El placer de contar por T. W. Körner - Aunque no se trata de un libro de texto como tal, creo que vale la pena que lo lea cualquier aspirante a matemático (el lector también encontrará que el autor tiene un estilo de escritura muy agradable, lo que hace que la lectura sea muy placentera)

• Si no has hecho Matemáticas Avanzadas, entonces mirar los libros de texto para los cursos Puros Avanzados también debería ser de interés - si no estás educado en casa, entonces deberías ser capaz de obtener copias de tu escuela, si no, yo personalmente recomendaría conseguir los libros de MEI FP1 a FP3, junto con posiblemente el libro de ecuaciones diferenciales.

En cuanto al álgebra lineal, no se me ocurre un buen libro de texto para hacerlo, pero quizás alguien más tenga una buena idea.

Answer 3

El esquema estándar en muchas escuelas después del cálculo monovariable es el álgebra lineal, el cálculo multivariable y las ecuaciones diferenciales, seguidos de varias clases básicas, que suelen incluir el análisis y el álgebra abstracta, pero que pueden incluir el análisis complejo (que no tiene necesariamente como prerrequisito el análisis real), las EDP, los métodos numéricos, etc. Después, la gente suele cursar varias asignaturas optativas, pero en la escuela de posgrado se vuelve a empezar, a menudo con topología, análisis real/teoría de la medida y álgebra abstracta de nuevo.

Puedes saltarte el cálculo multivariable e ir al análisis real si realmente quieres, pero el cálculo multivariable es hermoso, riguroso, fascinante, desafiante, y estudiado y desarrollado por Euler, Gauss, etc. Stewart Calculus tiene una gran descripción de las funciones de valor vectorial con la tangente, la normal y la binormal, etc.

El análisis no es sólo un cálculo más avanzado; es un énfasis diferente, y tiende a ser menos geométrico que el cálculo multivariable.

Todo esto está escrito desde una perspectiva limitada en los Estados Unidos.

Answer 4

Empieza con el cálculo y después haz álgebra lineal. Para el cálculo puedo recomendarte Calculus Early Transcendentals de Stewart, y para el álgebra lineal te recomiendo Linear Algebra: A modern Introduction de Poole. Sin embargo, yo empezaría con el cálculo. Será un reto suficiente en esta etapa.

Answer 5

Deberías estudiar las dos cosas, así que te aconsejo que empieces a estudiar la que más te interese.

Yo prefiero el análisis así que te voy a recomendar un par de libros sobre el tema, yo hice un curso de análisis real el año pasado y un libro recomendado fue el de Bartle y Sherbert ( http://www.amazon.co.uk/Introduction-Real-Analysis-Robert-Bartle/dp/0471433314/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1369842686&sr=8-1&keywords=bartle+sherbert ), me pareció un buen libro, introduce algunos conceptos de topología que son realmente interesantes y te ayudan a trabajar con espacios abstractos y desarrolla algunos resultados importantes en convergencia de series de funciones (es decir, intercambiando el orden de operación si tienes un tipo de convergencia lo suficientemente bueno) que han sido bastante útiles en todos los cursos que he tomado en muchas ramas de las matemáticas y la física (es decir, ecuaciones diferenciales ordinarias), puede que encuentres algunas carencias pero creo que es un buen libro para empezar. También te recomendaría Cálculo de Spivak (que es útil sobre todo para practicar con ejercicios más "prácticos", no sólo teóricos).

No puedo recomendarte buenos libros de álgebra porque soy español y he utilizado libros que estaban escritos en español (y no creo que haya traducciones al inglés). EDIT: Acabo de ver en uno de los comentarios el libro de álgebra de Hoffmann y Kunze y me ha recordado que intenté utilizarlo mientras estudiaba la asignatura, es un libro duro pero al mismo tiempo puede darte una comprensión completa de cuáles son tus objetivos mientras desarrollas todos los resultados importantes del álgebra lineal.

Pero mi consejo más importante debería ser que no tienes que tener ninguna prisa, eres bastante joven todavía y no tienes que sentirte decepcionado o desanimado si no puedes conseguir tanto de esos libros como habías planeado originalmente, tienes que trabajar duro, intentar de nuevo o buscar en un libro diferente si no entendiste algo. No hay un libro perfecto, para lograr una buena comprensión del tema es útil buscar información en un montón de lugares diferentes, pero te recomiendo el libro que dije anteriormente como un buen lugar para comenzar en el tema del análisis de una variable real y para ayudarte a profundizar más tarde.

Espero que esto haya sido útil.