Cómo mostrar un compacto, cerrado operador de rango en un infinito-dimensional espacio de Hilbert tiene rango finito, sin el uso de la abrir-asignación teorema?

Question

Si $H$ $\infty$- dimensional espacio de Hilbert y $T:H\to{H}$ es un operador compacto con el cierre de la gama, ¿cómo puedo demostrar que $T$ tiene rango finito, sin el uso de la abrir-asignación teorema? (La asignación de teorema que no está en mis apuntes de clase).

Las definiciones que tengo en mis notas de la conferencia son:

(Deje $B(H)$ denotar el espacio de todos los delimitada operadores de asignación $H\to{H}$, $K(H)$ indicar el espacio de todos compacto operadores de asignación $H\to{H}$, $R(H)$ indicar el espacio de todos finito rango operadores de asignación $H\to{H}$).

• $T\in{B(H)}$ es compacto si el cierre de $T(B(0,1))$ es un conjunto compacto.
• $T\in{B(H)}$ tiene rango finito si $Range(T)=T(H)$ es finito-dimensional.

No estoy seguro de cómo hacer la prueba, pero creo que las siguientes proposiciones en mis notas de la conferencia podría ser útil:

• $T\in{R(H)}$ fib $T\in{B(H)}$ la norma es el límite de una secuencia de rango finito de los operadores, es decir, $K(H)$ es el cierre de $R(H)$.
• Deje $T\in{R(H)}$. A continuación, hay un ortonormales set $\{e_1,...,e_L\}$ s.t. $$Tu=\sum\limits_{i,j=1}^{L}{c_{ij}(u,e_j)e_i}$$ donde $c_{ij}$ son números complejos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sketch: Encontrar una manera de escribir el rango de $T$ como una contables de la unión de conjuntos compactos $K_i$. A continuación, la categoría de Baire teorema garantiza que una de las $K_i$ tiene interior no vacío (en relación a la gama de $T$). Esto significa que el rango de $T$ es localmente compacto, por lo tanto finito dimensionales.