Límite superior de la distancia mínima entre $N$ ¿puntos elegidos dentro del círculo unitario?

Question

Supongo que este es un problema bien conocido pero no estoy seguro de dónde encontrarlo en la web.

$N \ge 2$ Los puntos se eligen en el interior o en el límite del círculo unitario. ¿Cuál es el mejor límite superior de la distancia mínima entre dos de estos puntos?

Dada una configuración de $N$ tales puntos, llamemos a la distancia mínima $d_{\min}(N)$ Buscamos $\max\{d_{\min}(N)\}$ . Algunos ejemplos para los pequeños $N$ :

$\max\{d_{\min}(2)\}=2$ (diámetro)

$\max\{d_{\min}(3)\} \ge \sqrt{3}$ (triángulo equilátero)

$\max\{d_{\min}(4)\} \ge \sqrt{2}$ (cuadrado)

$\max\{d_{\min}(5)\} \ge 2\sin(\pi/5)$ (pentágono regular)

$\max\{d_{\min}(6)\} \ge 1$ (hexágono regular)

$\max\{d_{\min}(7)\} \ge 1$ (hexágono regular más el centro)

Esto demuestra que la respuesta no es $2\sin(\pi/N)$ que se obtendría distribuyendo los puntos equitativamente a lo largo de la circunferencia (el patrón se rompe para $N=7$ ).

Answer 1

Esbocemos la equivalencia del problema anterior:

1. Dado $N \ge 2$ , encontrar $N$ puntos en el disco unitario cerrado tales que la distancia mínima $d$ entre cualquier par de puntos se maximiza.

y el "embalaje en círculo" problema:

2. Dado $N \ge 2$ , lugar $N$ círculos de mayor radio igual posible $r$ dentro del disco unitario para que sus interiores tengan intersecciones vacías por pares.

La solución del segundo problema nos da la $N$ los centros de los círculos están todos dentro de un disco de radio $1-r$ y una distancia mínima entre dos centros cualesquiera de $2r$ . Dilatando estos puntos a ubicaciones dentro de un disco unitario se obtiene:

$$ d = \frac{2r}{1-r} $$

A la inversa, dada una solución del primer problema, cualquier par de $N$ puntos no están más cerca que $d$ por lo que los círculos alrededor de estos puntos de radio $d/2$ no tendrán interiores superpuestos y estarán contenidos en un disco de radio $1 + (d/2)$ . La contratación del disco contenedor al radio uno nos proporciona $N$ círculos empaquetados en el disco unitario que tienen el mismo radio:

$$ r = \frac{d/2}{1 + (d/2)} $$

Se ruega al lector que compruebe que la composición de estas expresiones racionales da una identidad, por lo que basta con comprobar la monotonicidad de cualquiera de ellas. Por ejemplo, podríamos reescribir esta última expresión:

$$ r = \frac{1}{(2/d) + 1} $$

Esto hace evidente que como $d$ aumenta, $r$ aumenta. De ello se deduce que las soluciones extremas del primer problema se corresponden con las soluciones extremas del segundo (y a la inversa).

Un tercer problema, cuya equivalencia con el segundo debería estar clara:

3. Dado $N \ge 2$ , lugar $N$ Círculos de radio unitario dentro de un círculo delimitador del menor radio posible $R$ para que los interiores de los círculos unitarios no se superpongan.

Como señala @achille hiu, packomania es una buena fuente para los arreglos de círculos más conocidos. Según el artículo de Wikipedia enlazado arriba, el caso más pequeño para el que la optimalidad de tales arreglos es conjetural (no probado) es $N=14$ . La prueba de optimalidad para $N=13$ fue publicado por F. Fodor (2003), "The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle", Contribuciones al álgebra y la geometría (Contribuciones al Álgebra y la Geometría) 44:2, pp. 431-440.