Ejemplos de no-cíclico de grupo con un cíclica automorphism grupo

Question

En la introducción al álgebra tenemos el ejercicio:

Deje $G$ ser un grupo. Muestran que cuando se $\operatorname{Aut}(G)$ es cíclico $G$ es abelian.

Esto no tiene tantos problemas. Denotar el centro (todos los desplazamientos de los elementos) con $Z$. A continuación, $G/Z$ es isomorfo a $\operatorname{Int}(G)$ donde $\operatorname{Int}(G)$ indica el subgrupo de interior de automorfismos. Como cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico tenemos $G/Z$ es cíclico y, por tanto, $G$ es abelian (Como un grupo que es cíclico del centro es abelian).

Así que la pregunta es:

Hay un no cíclico grupo con un cíclica automorphism grupo?

Hablamos de la cuestión ya en el chat y me encontré (gracias a google) una solución, pero me gustaría disfrutar de otros Ejemplos.

Answer 1

Siempre que $G$ es finito y su automorphismus es cíclico ya podemos concluir que el $G$ es cíclico.

Porque, como ya vimos $G$ es abelian y finito, podemos usar el teorema fundamental de finitely generado abelian grupos y decir que wlog $G=\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p^j \mathbb{Z}$. Pero el automorphismgroup no abelian y, por tanto, no es cíclico.

Para los que no finito de grupos de la implicación no es cierto.

El siguiente es desde este enlace y sólo ligeramente reformulado.

Deje $G$ ser el subgrupo del grupo aditivo de los números racionales que comprende los números racionales que, cuando se escribe en forma reducida, tienen denominadores que son los cuadrados de los números libres, es decir, no hay ningún número primo $p$ que $p^2$ divide el denominador.

Entonces: El único de identidad no automorphism es la negación del mapa, por lo que el automorphism grupo es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, y por lo tanto es cíclico.

El grupo $G$ no es un grupo cíclico. De hecho, ni siquiera es una finitely generado grupo, ya que cualquier subconjunto finito de sólo puede cubrir un número finito de números primos en sus denominadores. Es, sin embargo, localmente un grupo cíclico: cualquier finitely generado subgrupo es cíclico.

Answer 2

$\mathbb{Q}^*$ no es cíclica, pero la única automorphism es la identidad.