QUERÍA: una Breve prueba para la impugnación de identidad

Question

Tengo que probar el siguiente sin ningún uso de nuevas teorías matemáticas, excepto básicos de cálculo y álgebra lineal:

Deje $ \ell $ ser un entero positivo y $A$ real, simétrica y positiva definida $n \times n$-Matriz (Matriz cuadrada con $n$ columnas y $n$ filas). Demostrar que la siguiente identidad se tiene:

$$ \int_{\mathbb{R}^n} x_{i_1} \cdots x_{i_{2 \ell}} e^{-\frac{1}{2} \left< \mathbf{ x}, \ \mathbf{x} \right>} d^n x = \frac{(2 \pi)^{n/2}}{\ell! \sqrt{\det{Un}}} \sum\limits_{ \begin{array} \{ \{ k_1,k_1'\},\ldots,\{k_\ell,k_\ell'\}\in P \\ \cup_{j=1}^\ell \{ k_j, k_j' \} = \{ 1,\ldots,2 \ell \} \end{array} } ( A^{-1} )_{i_{k_1},i_{k_1'}} \cdots ( A^{-1} )_{i_{k_\ell},i_{k_\ell'}} $$ con $P = \left\{ \{k,k'\}, k \not= k' \in \{1,\ldots,2 \ell\} \right\}$ $\left< \mathbf{x}, \mathbf{y} \right>$ el estándar de producto escalar para $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$.

Francamente no tengo idea de qué hacer, por dónde empezar. También tengo miedo de que realmente no puedo explicar la notación, porque no tengo el 100% de mí mismo. De hecho, somos un grupo de aproximadamente 15 estudiantes y que no sabemos un suave camino más corto. Este ejercicio podría ser parte de una de 2 horas de examen con 5 otros ejercicios. Así que supongamos que existe un más o menos corto solución.

Answer 1

Sugerencia para el caso de $\ell = 1$. El resto se puede hacer por inducción.

Desde $A$ es positiva definida, puede definir la matriz $B = (A)^{-1/2}$. Considerar el cambio de las variables de $x = By$, lo $dx = |B| dy$ usando el determinante Jacobiano. Entonces la ecuación se puede reescribir como

$$ \int_{\mathbb{R}^n} x_i x_j e^{-\frac12 xAx} dx = |B| \int_{\mathbb{R}^n} B_{ik}B_{jl}y_ky_l e^{-\frac12 y\cdot y} dy $$

(Observe que $|B| = |A|^{-1/2}$ como se desee.). Ahora, usando la linealidad de la acción por la matriz $B$, se puede integrar por partes en $y_l$ utilizando el operador de la derivada de $\partial_l$. Esto va a elegir un término de la forma (usando ese $\partial_ly_k = \delta_{lk}$)

$$ B_{il}B_{jl} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac12 y\cdot y} dy $$

la integral es la integral de Gauss, dándole el factor de $2\pi$. Y $B_{il}B_{jl} = B^2 = A^{-1}_{ij}$.

El factorial factor proviene de al integrar por partes, cuando $\ell > 1$, contando los términos que en realidad tienen.