¿Cómo encontrar el número de soluciones de una ecuación?

Question

Dado $n$ cómo contar el número de soluciones de la ecuación $$x + 2y + 2z = n$$ donde $x, y, z, n$ son enteros no negativos?

Answer 1

1) Si $n$ es uniforme, con $n=2m$ entonces $x$ también es parejo. Si dejamos que $x=2x^{\prime}$ tenemos

$x^{\prime}+y+z=m$ que tiene $\binom{m+2}{2}$ soluciones donde $m=\frac{n}{2}$ .

1) Si $n$ es impar, con $n=2m+1$ entonces $x$ también es impar. Si dejamos que $x=2x^{\prime}+1$ tenemos

$x^{\prime}+y+z=m$ que tiene $\binom{m+2}{2}$ soluciones donde $m=\frac{n-1}{2}$ .

Answer 2

Podemos replantear esto como: $$x=n-2y-2z=n-2(y+z)$$

$y$ y $z$ son enteros no negativos, por lo que $y+z \geq 0$ . También tenemos $x$ es un número entero no negativo, por lo que $n-2(y+z) \geq 0$ o $y+z \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ . Por lo tanto, tenemos que averiguar el número de enteros positivos $y, z$ que satisfagan: $$0 \leq y+z \leq \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$$ Ahora bien, si $y+z=0$ sólo tenemos una solución: $0+0$

Si $y+z=1$ Tenemos dos soluciones: $0+1=1+0$

Si $y+z=2$ Tenemos tres soluciones: $0+2=1+1=2+0$

A partir de este patrón, encontramos que si $y+z=m$ tenemos $m+1$ soluciones.

Hay que sumar $m+1$ de $m=0$ a $m=\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ ya que esos son los valores posibles para $y+z$ Así que nuestra respuesta es: $$\sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} m+1$$ Podemos decir $k=m+1$ para cambiar esta suma a: $$\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1} k$$ Usando la identidad de la suma de enteros positivos consecutivos, obtenemos: $$\frac{\left(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1\right)\left(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1+1\right)}{2}={\lfloor \frac{n}{2} \rfloor+2 \choose 2}$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $n$ y $x$ deben ser de la misma paridad; o ambas Impares, o ambas pares. El número de soluciones a $n=2k$ y $n=2k+1$ son, por tanto, las mismas; la diferencia entre los dos conjuntos de soluciones es únicamente que el valor de $x$ se incrementa en uno en el impar- $n$ soluciones.

Así que considerando esos dos casos juntos, $n=2k$ o $n=2k+1$ entonces la respuesta es una pregunta de partición para saber cómo expresar $k$ como una suma ordenada de tres enteros no negativos. Se trata de una simple cuestión de colocar los separadores (estrellas y barras), por lo que el número de soluciones posibles es $${k+2\choose 2}$$

El primer valor obtenido debe multiplicarse por dos y, si $n$ es impar, aumentado por $1$ para obtener el valor de $x$ . La partición produce $y$ y $z$ directamente.

Answer 4

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

\begin{align} &\color{#f00}{\sum_{x = 0}^{\infty}\sum_{y = 0}^{\infty}\sum_{z = 0}^{\infty} \delta_{x + 2y + 2z\,,n}} = \sum_{x = 0}^{\infty}\sum_{y = 0}^{\infty}\sum_{z = 0}^{\infty} \oint_{\verts{w} = 1^{-}}{1 \over w^{n + 1 - x - 2y - 2z}} \,{\dd w \over 2\pi\ic} \\[3mm] = &\ \oint_{\verts{w} = 1^{-}}{1 \over w^{n + 1}} \sum_{x = 0}^{\infty}w^{x}\sum_{y = 0}^{\infty}\pars{w^{2}}^{y} \sum_{z = 0}^{\infty}\pars{w^{2}}^{z}\,{\dd w \over 2\pi\ic} \\[3mm] = &\ \oint_{\verts{w} = 1^{-}}{1 \over w^{n + 1}}\,{1 \over 1 - w} \,{1 \over 1 - w^{2}}\,{1 \over 1 - w^{2}}\,{\dd w \over 2\pi\ic} = \oint_{\verts{w} = 1^{-}}{1 \over w^{n + 1}\pars{1 - w}^{3}\pars{1 + w}^{2}}\,{\dd w \over 2\pi\ic} \\[3mm] \stackrel{z\ \to\ 1/z}{=}\ &\ \oint_{\verts{w} = 1^{\color{#f00}{+}}} {w^{n + 4} \over \pars{w - 1}^{3}\pars{w + 1}^{2}}\,{\dd w \over 2\pi\ic} = \underbrace{{1 \over 2!}\,\lim_{w \to 1}\partiald[2]{}{w}{w^{n + 4} \over \pars{w + 1}^{2}}} _{\ds{2n^{2} + 10n + 11 \over 16}}\ +\ \underbrace{% {1 \over 1!}\,\lim_{w \to -1}\partiald{}{w}{w^{n + 4} \over \pars{w - 1}^{3}}} _{\ds{\pars{-1}^{n}\,{2n + 5 \over 16}}} \\[5mm] = &\ \color{#f00}{{2n^{2} + 2\bracks{5 + \pars{-1}^{n}}n + \bracks{11 + 5\pars{-1}^{n}} \over 16}} \end{align}

$$ \mbox{A few values:}\quad \left\lbrace\begin{array}{rclcr} \ds{n} & \ds{=} & \ds{0,1} & \ds{\imp} & \ds{1} \\ \ds{n} & \ds{=} & \ds{2,3} & \ds{\imp} & \ds{3} \\ \ds{n} & \ds{=} & \ds{4,5} & \ds{\imp} & \ds{6} \\ \ds{n} & \ds{=} & \ds{6,7} & \ds{\imp} & \ds{10} \\ \ds{n} & \ds{=} & \ds{8,9} & \ds{\imp} & \ds{15} \\ \ds{n} & \ds{=} & \ds{10} & \ds{\imp} & \ds{21} \end{array}\right. $$

Answer 5

Necesitamos el coeficiente de $x^n$ en $(1+x+x^2+\cdots)(1+x^2+x^4+\cdots)^2$ . Esto se puede escribir como \begin{align*} \frac{1}{(1-x)(1-x^2)^2} &= \frac{1}{(1-x)^3(1+x)^2} \\ &= \frac{1/4}{(1-x)^3}+\frac{1/4}{(1-x)^2}+\frac{3/16}{1-x}+\frac{1/8}{(1+x)^2}+\frac{3/16}{1+x} \end{align*} El coeficiente requerido es $$ \frac{1}{4}\binom{n+2}{n}+\frac{1}{4}\binom{n+1}{n}+\frac{3}{16}(n+1)+\frac{(-1)^n}{8}\binom{n+1}{n}+\frac{3(-1)^n}{16}$$