¿Bra-ket asuma siempre todo el espacio?

Question

Una cosa que nunca he entendido sobre la notación del soporte es los límites del producto interno. ¿Dadas $ \langle \psi∣\psi \rangle$, qué puedo decir acerca de los límites de la integración del medio interno?

¿$ \langle \psi∣\psi \rangle$ Asumir siempre todo el espacio es decir $ \langle \psi∣\psi \rangle = 1$?

¿Cómo puedo yo especificar/denotar la región de integración si estoy interesado sólo la probabilidad de un cierto rango de $[a,b]$?

Answer 1

Voy a intentar responder a esto en el caso más general, donde el espacio de configuración es $\mathbb R^n$. En este caso, el espacio de Hilbert de la teoría cuántica es $L^2(\mathbb R^n)$ con medida de Lebesgue, y el producto interior tiene la representación $$(f,g) = \int_{\mathbb R^n}\overline{f(x)}g(x)\ \text d\lambda(x)$$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue. Deje $U$ ser cualquier (Borel) subconjunto de $\mathbb R^n$ (leer cualquier región del espacio de configuración $\mathbb R^n$), entonces la integral $$\int_U\overline{f(x)}g(x)\ \text d\lambda(x)$$ se puede reescribir utilizando la función característica $\chi_U$ $U$ $$\int_{\mathbb R^n}\overline{f(x)}\chi_U(x)g(x)\ \text d\lambda(x).$$ A $\chi_U$ uno puede asociar un operador acotado $E_U$ que actúa sobre los elementos de la Hibert espacio como $$(E_Ug)(x) = \chi_U(x)g(x),\qquad\forall g\in L^2(\mathbb R^n)$$ de modo que el buscado integral toma la forma $$(f,E_Ug) = \int_U\overline{f(x)}g(x)\ \text d\lambda(x).$$ En la notación de Dirac esto significa que no existe una proyección (es decir, auto-adjuntos y idempotente elemento del álgebra de (generalizada) observables) de forma tal que la integral restringido a una determinada región, es $$\langle\psi|E_U|\psi\rangle.$$

Al$n=1$$U=[a,b]$, entonces uno tiene que tener la función característica de este intervalo, que es sólo la proyección sobre esta porción de la totalidad de la línea real.

Answer 2

¿Cómo puedo especificar/denotar la región de integración si estoy solo interesados, la probabilidad de que un cierto intervalo [a,b]?

Si la partícula está en un estado de $|\psi\rangle$, la probabilidad de encontrar la partícula en el estado de $|\phi\rangle$ está dada por (suponiendo que los estados están normalizadas)

$$P(|\phi\rangle) = |\langle \phi | \psi\rangle|^2$$

Por ejemplo, la probabilidad de encontrar la partícula en una (1-D) posición eigenstate es

$$P(x = x_0) = |\langle x_0 | \psi\rangle|^2$$

Entonces, si desea saber la probabilidad de encontrar la partícula entre $a$$b$, que sería 'suma' la probabilidad de encontrar la partícula en cualquier de la posición de autoestados entre

$$P(a \le x \le b) = \int_a^b dx\;|\langle x | \psi\rangle|^2$$

Pero

$$\psi(x) = \langle x | \psi\rangle $$

así

$$P(a \le x \le b) = \int_a^b dx\;|\psi(x)|^2$$

Answer 3

Bra ket la notación no tiene nada que ver con las integrales. Si tengo dos vectores en el espacio 3D, $\vec{v}$$\vec{w}$ , me puede escribir como $|v\rangle$ $|w\rangle$ si quiero. En ese caso, me gustaría escribir su producto escalar (un.k.una. producto interior) como $\langle v | w \rangle$. Este producto escalar no tiene nada que ver con la integración. Cuando sus vectores son funciones, entonces el producto escalar es parte integrante y es generalmente el caso de que esta integral va desde $-\infty$$\infty$. Si ese es el caso, entonces usted no puede representar la integración a través de una gama diferente con bra-ket. Al menos, que no es lo que la notación significa.

He aquí una muy buena manera de pensar acerca de este negocio:

Los tipos simples de los vectores a los que estás acostumbrado a pensar son representados como una lista de números. Por ejemplo, podemos tener un n-dimensional de vectores $|v\rangle$ que es representado como

$$|v\rangle \rightarrow \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right) \, .$$

Ahora supongamos que tenemos otro vector de $|w\rangle$ representado como

$$|w\rangle \rightarrow \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{array} \right) \, .$$

El producto escalar de estos vectores es

$$\langle w | v \rangle = \sum_i v_i w_i^* \, .$$

Bien, ahora supongamos que tengo un vector $|f\rangle$ que es infinito dimensional y, de hecho, tiene tantas componentes como son números reales. En otras palabras, para cada número real tengo un componente para $|f\rangle$. Desde que estoy en la asociación de un valor (el componente de $|f\rangle$) a cada número real, que bien podría pensar de $|f\rangle$ como una función donde $f(x)$ $x^{\text{th}}$ componente del vector $|f\rangle$. Desde ese punto de vista, si tengo otro vector de $|g\rangle$, entonces el producto escalar entre el $|f\rangle$ $|g\rangle$ es

$$\langle f | g \rangle = \int f^*(x) g(x) \, dx \, .$$

Esta integral se lleva a cabo sobre la totalidad del dominio (generalmente de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R}^n$) y se constituye en un $L^2$ producto interior (técnicamente Hermitian).

Hay un montón de buena maneras de entender todo este negocio. A medida que aprenda más encontrará que las diferentes funciones pueden ser representaciones de la misma vector en bases diferentes, como dos diferentes columnas de números que pueden ser representaciones de regular los vectores en diferentes bases. Usted también aprenderá que la transformada de Fourier es una realidad común de cambio de base entre los sinusoides y funciones delta.

Answer 4

Ok, en primer lugar, el producto interior $\langle\psi|\psi\rangle=1$ indica dos cosas:
1. Los estados en QM corresponden a los vectores normalizados.
2. La fase general es irrelevante.
y sí, si se calcula una interna del producto y de acuerdo con las variables continuas, se debe integrar en todo el espacio que se observa. De lo contrario, su normalización no tiene ningún sentido, ¿verdad?

Segundo, lo que en realidad tratando de preguntar aquí se llama una probabilidad de interpretación y para eso se necesita una densidad de operador, que es usualmente denotado como $\hat\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$. A continuación, puede calcular la probabilidad de encontrar el objeto en algunos sate $|\phi\rangle$, es decir, realizar una protección de medición de $|\phi\rangle\langle\phi|$, lo que nos lleva a la probabilidad deseada:
$$ P = {Tr}(\hat\rho|\phi\rangle\langle\phi|) = \langle\phi|\hat\rho|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle\langle\psi|\phi\rangle = |\langle\psi|\phi\rangle|^2 $$
Luego viene la parte difícil, cuando se empieza a hablar acerca de su estado del objeto en el que se definen las coordenadas, que la gente denotar como $|x_0\rangle$, y decir que usted tiene un correspondiente probabilidad de encontrar el objeto en este punto, mientras que en realidad quieren decir "en algún lugar alrededor de la mancha". En la práctica no se puede medir cualquier cosa, precisamente, puede usted? En teoría, se podría decir que tiene una probabilidad de su objeto se encuentra en algunos $\delta x$ barrio de $x_0$. (Si alguien sabe una mejor manera de definir esto, voy a estar contento de ser enseñado.) Finalmente, después de las explicaciones innecesarias viene una respuesta real:

Lo que tiene que integrar no es un producto interior $\langle\psi|\psi\rangle$, pero la función de densidad de probabilidad, que está a la izquierda después de que usted escribió $\langle x|\psi\rangle\langle\psi|x\rangle$. A continuación, puede integrar sobre cualquier intervalo de tiempo (o caja) que usted desea, y usted va a conseguir algo como una aproximación de la probabilidad de encontrar el objeto en esta región.
Creo que el problema está escondido en la similitud de las dos integrales, cuando en lugar de vectores de la gente escribe $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$, y
$$ \langle\psi|\psi\rangle = \int\limits_{-\infty}^\infty \langle \psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle\, dx = \int\limits_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx = 1, $$ $$ P([a,\, b]) = \int\limits_a^b \langle x|\psi\rangle\langle\psi|x\rangle\, dx = \int\limits_a^b |\psi(x)|^2 dx =\, ?, $$ y estos son dos cosas diferentes, en realidad.

Espero que esto ayude.

P. S. los Límites de $(-\infty, \infty)$ no son generales, que sólo significa que usted mira todo el espacio.