Estoy leyendo MacLane la "Homología" y se quedó atascado en la prueba de los hechos siguientes.
Teorema. Deje $E:0\xrightarrow{}A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{}0$ ser una breve secuencia exacta de izquierda $R$-módulos. Deje $A'$ ser una izquierda $R$-módulo, a continuación, la secuencia de $$ \mathrm{Ext}_R^1(C,A')\xrightarrow{\mathrm{Ext}_R^1(g,A')}\mathrm{Ext}_R^1(B,A')\xrightarrow{\mathrm{Ext}_R^1(f,A')}\mathrm{Ext}_R^1(A,A') $$ es exacto.
El intento. Desde $gf=0$, luego $$ \mathrm{Ext}_R^1(f,A')\mathrm{Ext}_R^1(g,A')=\mathrm{Ext}_R^1(gf,A')=0 $$ por lo $\mathrm{Im}(\mathrm{Ext}_R^1(g,A'))\subset\mathrm{Ker}(\mathrm{Ext}_R^1(f,A'))$.
Ahora tome coset $[E_1]\in\mathrm{Ker}(\mathrm{Ext}_R^1(f,A'))$,$[E_1f]=\mathrm{Ext}_R^1(f,A')([E_1])=0$. Esto significa que $E_1f$ se divide, que es equivalente a que $g_f$ es una retracción, $f_f$ - coretraction. Con el fin de mostrar que el $[E_1]\in\mathrm{Im}(\mathrm{Ext}_R^1(g,A'))$ I la necesidad de construir las $[E']\in\mathrm{Ext}_R^1(C,A')$, de tal manera que $[E_1]=\mathrm{Ext}_R^1(g,A')([E'])=[E'g]$. Esto equivale a la existencia de morfismos de extensiones $\Gamma:E_1\to E'$ de la forma $(1_{A'}, \beta,g)$, para algunas de las $R$-homomorphism $\beta$. $$ \begin{array}{cccccccccc} &&&&&&&0&&&\\ &&&&&&&\downarrow &&&\\ E_1f: & 0 & \xrightarrow{} & A' & \xrightarrow{f_f} & B_f & \xrightarrow{g_f} & A & \xrightarrow{} & 0 \\ &&& \downarrow 1_A' && \downarrow \beta_f && \downarrow f &&&\\ E_1: & 0 & \xrightarrow{} & A' & \xrightarrow{f_1} & B_1 & \xrightarrow{g_1} & B & \xrightarrow{} & 0 \\ &&& \downarrow 1_A' && \downarrow ? && \downarrow g &&&\\ E': & 0 & \xrightarrow{} & A' & \xrightarrow{?} & ? & \xrightarrow{?} & C & \xrightarrow{} & 0 \\ &&&&&&&\downarrow &&&\\ &&&&&&&0&&&\\ \end{array} $$
Pregunta. ¿Cómo debo definir $E'$, y de cómo utilizar aquí que $[E_1f]$ se divide?
