Mi hermano recientemente trajo a este problema para mí, y mientras me pareció bastante interesante, no puedo averiguar cómo resolverlo:
Para cualquier entero positivo $n$, vamos a $f(n)$ ser definido por
$$ f(n) = \begin{cases} 3n+1 & \text{if } n \text{ is odd} \\ \frac{n}{2} & \text{if } n \text{ is even} \end{casos} $$
Podemos decir $f^1 = f$ y, de forma inductiva, $f^{k+1} = f \circ f^k$, $f^k(n) = \underbrace{f(\dots (f(x))\dots )}_{k \text{ times}}$.
Demostrar que existe al menos un entero positivo $n$ tal que $f^{40}(n) \gt 2013n$.
Consejos están bien, así que puedo seguir pensando acerca de esto. He llegado a dos conclusiones. Uno, sería bueno si podemos encontrar algunos $n$ tal que $f^k(n)$ alterna entre ser y raro, incluso para los sucesivos $k$'s, debido a que, a continuación,$f^2(n) = \frac32n+\frac12$; desde $(\frac32)^{20} > 2013$, $n$ iba a funcionar (creo). Dos, podría ser más fácil de probar una versión más general de la instrucción: Para cada $M > 0$$k \in \mathbb{N}$, existe un $n$ tal que $f^k(n) \gt Mn$. Por supuesto, no sé si esto es realmente cierto, por lo que este enfoque podría no funcionar.
