Producto de puntos de dos vectores sin origen común

Question

Dados dos vectores unitarios $v_1, v_2\in R^n$ su producto punto se define como $v_1^Tv_2=\|v_1\|\cdot\|v_2\|\cdot\cos(\alpha)=\cos(\alpha)$ . Ahora, supongamos que los vectores están en una relación $v_2=v_1+a\cdot1_n$ es decir, los vectores son en paralelo (una es la versión desplazada de otra), donde $a\in \mathbb{R}$ es una constante y $1_n=[1 \dots 1]\in\mathbb{R}^n$ es un vector de todos los unos. El producto punto sería ahora $$v_1^Tv_2=v_1^T(v_1+a\cdot1_n)=1+a\cdot v_1^T1_n \tag 1.$$ Esto implica que por cambiando los vectores, el producto punto cambia, pero todavía $v_1v_2=\cos(\alpha)$ donde el ángulo ahora no tiene ningún significado. ¿Implica esto que, para realizar la comprobación adecuada del ángulo entre dos vectores hay que centrarlos (la media de las entradas del vector es cero para ambos vectores, lo que sería una opción)? Si es así, ¿qué implica esto geométricamente? ¿Se llevan los vectores al mismo origen de esta manera?

Otra observación más interesante es con $v_1, v_2$ siendo los vectores propios unitarios de dos matrices diferentes. De (1), se puede concluir que cuando la suma de las entradas del vector es cero (los vectores están centrados), el origen es compartido (?). ¿Para qué matrices se da el caso de que los vectores propios estén centrados, es decir, con la suma de entradas del vector propio de cero? Por ejemplo, con las matrices que tienen $1_n$ como un vector propio, en virtud de la ortogonalidad, la suma de las entradas de cada uno de los otros vectores propios es 0. ¿Son éstos los únicos tipos de matrices con este tipo de propiedad de los vectores propios?

Answer 1

En un espacio afín podemos "olvidarnos" del origen, en el sentido de que está determinado por la elección arbitraria de las coordenadas y, por tanto, no es una parte distinguida del propio espacio. Este espacio tiene puntos, y entre los puntos podemos dibujar flechas para describir la dirección. Estas "flechas" son vectores, y el conjunto de todos los vectores forma un espacio vectorial: una estructura algebraica en la que la adición tiene sentido y la multiplicación escalar por elementos de un campo dado (los números reales aquí) también. Hay un vector que es el inverso aditivo, el cero. Los vectores actúan sobre los puntos del espacio afín trasladándolos de un lugar a otro, según la dirección y la magnitud del vector. Todo esto debería saberse ya, pero es clave que al principio el espacio afín y el espacio vectorial sean dos cosas diferentes.

El espacio vectorial tiene un origen que se distingue por ser la identidad aditiva, pero podemos tomar una copia de este espacio vectorial y luego interpretar los vectores como puntos y entonces las flechas que existen entre dos puntos es el vector original que había que sumar algebraicamente para ir de uno a otro; podemos mantener el origen como parte de un sistema de coordenadas particular. ¡De esta manera podemos ver un espacio como un espacio vectorial y un espacio afín simultáneamente!

Sin embargo, la cosa se complica cuando queremos describir la geometría. Dos vectores situados en un espacio afín son paralelos si apuntan en la misma dirección, sin restricciones en su punto base. Por otro lado, si queremos ver estos vectores paralelos en su hábitat de espacio vectorial como flechas, deben ser flechas que apunten desde el origen. El producto interior es una operación sobre el espacio vectorial, por lo que si tenemos dos vectores en el espacio afín que queremos unir por puntos tenemos que "centrarlos" de esta manera para que la interpretación del ángulo entre ellos siga siendo válida.

Podemos trasladar vectores en el espacio afín (moverlos sin cambiar su dirección) y siguen siendo el mismo vector, sólo que con un punto base diferente. Sin embargo, la operación de adición en el espacio vectorial da como resultado un nuevo vector (cuando los sumandos son distintos de cero), y además la suma de dos vectores no paralelos da como resultado un vector que no es paralelo a ninguno de los dos originales.

Lo que puede decir en cambio que si tenemos el vector cero $0$ , un vector $v$ y un vector de traslación $w$ podemos interpretar $0$ y $v$ como puntos y la flecha entre ellos será, por supuesto, el vector $v$ mientras que si traducimos el puntos $0$ y $v$ por el vector $w$ obtendremos el puntos $w$ y $v+w$ respectivamente (¡hay que tener cuidado con los que llamamos vectores y los que llamamos puntos!), El vector entre estos dos últimos puntos será de nuevo $v$ que obviamente es paralelo a nuestro vector original (porque son un mismo vector).

Si $p$ es un vector que reinterpretamos como un punto, y $v$ un vector en un espacio afín con un punto base $p$ entonces el vector $v$ entendida como una flecha apuntará específicamente al punto $p+v$ (recuerda que la adición tiene lugar en el espacio vectorial, por lo que para entender esto tenemos que ir volver a la interpretación vectorial de $p$ , añadir a $v$ y luego hacia adelante de nuevo a la interpretación afín como un punto). El punto $p+v$ corresponde al vector original $p+v$ Por lo tanto, el proceso de "centrado" consiste en tomar el punto $p$ hasta el origen (asociado al vector cero), así como el punto $p+v$ volver al punto $v$ que se realiza restando el vector $p$ . En otras palabras, para centrar un vector existente en el espacio afín, tomamos el punto al que apunta como una flecha, lo interpretamos como un vector y le restamos el vector asociado al punto base original. Esto es conceptualmente un proceso bastante indirecto, pero es lo que ocurre.

Además, no hay nada especial en el vector $1_n:=(1,\cdots,1)$ cuando se trata de centrar; sí desplaza cada componente por $1$ cuando se añade a un vector, pero en general esto no centra nada en absoluto. Trasladar un punto en un espacio afín sólo lo mueve en alguna dirección específica, y de hecho no hay nada intrínsecamente especial sobre esta dirección; si cambiamos nuestro sistema de coordenadas la forma componente de este vector podría ser casi cualquier cosa que queramos que sea.

¿Qué significa que la suma de las componentes de un vector es cero? (En primer lugar, hay que tener en cuenta que esta suma depende de la elección del sistema de coordenadas, por lo que no es intrínsecamente una función sólo del espacio vectorial. Esto se debe a que el vector " $1_n$ " especifica que depende de las coordenadas). Significa el producto punto entre $v$ y $1_n$ es cero, por lo que son ortogonal también conocido como perpendicular . Pensar en las matrices como transformaciones lineales de un espacio vectorial (coordenadas dadas) nos permite entonces utilizar esta información para caracterizar las matrices (con entradas de vectores propios que suman cero) de forma geométrica.

Answer 2

No existe tal cosa como "cambiar los vectores".

Existe un espacio de puntos (por ejemplo ${\mathbb R}^n$ ). Cuando una vez se consideran todas las diferencias formales entre los puntos (como $(x, y)$ las diferencias se pueden ver como las flechas con el inicio en $x$ y terminan en $y$ ) y las factoriza bajo la relación de desplazamiento (es decir, $(x, y)$ se considera igual a $(z, 0)$ si $x = y+z$ cuando se consideran estos puntos como $n$ -partidas de números en $\mathbb R$ con la adición definida por coordenadas), obtienen un espacio de vectores (se puede pensar en él como en las flechas con el inicio en $0$ y el final en alguna parte).

El producto punto se define para dos vectores (o, alternativamente, dos flechas que parten de cero). Lo que se llama un "desplazamiento" es el cambio del punto final de la flecha; pero el punto inicial sigue siendo el mismo que era - un cero ( $0$ ). Por lo tanto, después de su "desplazamiento" se obtiene el vector completamente diferente; por supuesto, formará un ángulo completamente diferente a algún vector fijo cuando se compara con un valor original.

O, alternativamente, se podría definir un "desplazamiento" como el desplazamiento de los puntos inicial y final del vector. Pero las coordenadas utilizadas en un producto punto son las coordenadas del punto final para el punto inicial en cero, de modo que las coordenadas no cambian, y el producto punto no cambia también.

Answer 3

Mi primera respuesta sería que los productos escalares se definen en espacios vectoriales. En realidad estás pensando en $\mathbb{R}^n$ como un espacio afín. Para ser más explícito, en un espacio vectorial el concepto de paralelismo es éste: dos vectores $v$ y $w$ son paralelos si y sólo si $v=cw$ para algún escalar $c$ . Pensando en términos geométricos, un producto punto debería ser independiente de las traslaciones afines (si realmente quieres considerarlas).

Answer 4

Como otros han señalado, un vector no debe considerarse como una "línea" a través del espacio, que puede pasar o no por el origen. Los vectores deben considerarse como líneas que pasan por el origen. de cero a un punto determinado. De hecho, no hay ninguna diferencia real entre un vector y un punto: si me das un punto, puedo darte un (y sólo un) vector que termine en ese punto, y del mismo modo, si me das un vector, puedo darte un (y sólo un) punto correspondiente a ese vector: es el "punto final". Hay una correspondencia uno a uno entre vectores y puntos en el espacio.

Para un ejemplo más concreto, consideremos el vector $[2,4]$ y el vector $[3,5]=[2,4]+[1,1]$ . Ambas están trazadas aquí y puedes ver que no son paralelos. Los únicos vectores paralelos a $[2,4]$ sería $[1,2]$ , $[3,6]$ y más en general, $\alpha[1,2]$ para cualquier $\alpha$ .