¿Por qué una integral cambia de signo al voltear los límites?

Question

Definamos una integral muy sencilla:

• $f(x) = \int_{a}^{b}{x}$

para $a,b\ge 0$ .

¿Por qué tenemos la identidad $\int_{a}^{b}{x} = -\int_{b}^{a}{x}$ ?

Dibujé los gráficos y pensé en ello, pero para mí la integración, al menos en dos dimensiones, es simplemente tomar el área bajo una curva, así que ¿por qué importa en qué dirección se toma la suma?

Answer 1

He aquí otra justificación intuitiva. La intuición gráfica obvia dice que cuando $a \leq b \leq c$ entonces $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ . Si queremos que esta fórmula se cumpla para arbitraria $a,b,c$ entonces deberíamos ser capaces de tomar $a=c$ de modo que $\int_a^b f(x) dx + \int_b^a f(x) dx = \int_a^a f(x) dx$ . Pero $\int_a^a f(x) dx = 0$ por lo que si queremos que esta fórmula se cumpla, necesitamos $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$ .

Answer 2

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int_{b}^{a}f(x)dx$$ por el teorema fundamental del cálculo.

O gráficamente, $$-\int_{b}^{a}f(x)dx=\int_{b}^{a}-f(x)dx$$ y $$-f(x)$$ tiene la misma superficie que $$f(x)$$ pero bajo el eje x, por lo que el área firmada cambia

Answer 3

Queremos $$\int_a^b +\int_b^c =\int_a^c.$$ ahora toma $c=a$

Answer 4

Me parece que la noción de que la integración "es sólo tomar el área bajo una curva" es lo que lleva a confusión aquí. Véase esta otra pregunta para otro ejemplo de cómo esta noción llegó a alguien en problemas y le dificultó el uso del cálculo.

La integración es realmente la medida del efecto acumulado de algo que ocurre a un ritmo determinado con respecto a otra cosa. Podemos utilizarla, por ejemplo, para saber cuánta agua hay en un embalse si conocemos el caudal neto de agua. embalse si conocemos la tasa neta de flujo de agua en el embalse en cada momento durante un intervalo de tiempo. Cuando el caudal neto "hacia dentro" es positivo durante un intervalo, la cantidad de agua de agua aumenta desde el principio hasta el final del intervalo. Cuando la tasa neta de flujo es negativa (en realidad está fluyendo "hacia fuera"), la cantidad de agua disminuye desde el principio hasta el final del intervalo.

Si se integra "hacia atrás" (desde el final del intervalo de tiempo hasta el principio, en vez de desde el principio hasta el final), es como reproducir un vídeo al revés: lo que haya ocurrido durante ese intervalo de tiempo se deshace. El resultado es exactamente el contrario de lo que ocurre cuando se integra "hacia delante".

Una integral coincide con el "área bajo la curva" cuando la curva está por encima del $x$ eje y se integra de izquierda a derecha. Imagina que sostienes una regla paralela al $y$ y mueva el regla hacia la izquierda o hacia la derecha. Cuando la curva esté por encima del $x$ eje, el altura de la curva en cualquier punto representa la velocidad a la que el área bajo la curva a la izquierda de a la regla aumentará al mover la regla más allá de ese punto hacia la derecha. Si $a<b$ y pasas la regla por la curva desde $x=a$ a $x=b$ (de izquierda a derecha), el área bajo la curva se añade a la izquierda de la regla; si barres de $x=b$ a $x=a$ (de derecha a izquierda), se quita área. El resultado de una vuelta completa de la regla es exactamente cero, es decir, terminas exactamente con lo que empezaste.

Answer 5

En realidad, hay varias nociones distintas (pero relacionadas) de integración.

Me parece que tu concepción de la integral tiene lugar sobre un conjunto, no sobre un intervalo parametrizado. Como tal, podría ser más apropiado escribir:

$$\int_{[a,b]} f(x)dx$$

en lugar de $$\int_a^b f(x)dx$$ para el modelo de integración del "área firmada" que tiene en mente.

Más adelante en sus estudios, esta perspectiva de área firmada se formalizará como la integral de una función con respecto a una medida.

La integral que generalmente enseñamos en un primer curso de cálculo depende en realidad de una parametrización del intervalo sobre el que estamos integrando, y quizás se generaliza de forma más natural al concepto de integrar una forma diferencial.