Hay interesantes ejemplos de subconjuntos de a $\mathbf{N}$ que son conocidos por ser no vacío, pero de la que no hay elementos son conocidos?

Question

Hay muchos resultados en matemáticas que establecen la existencia de algún objeto sin llegar a la construcción de dicho objeto. Me pregunto si hay alguna de las interesantes propiedades de los números naturales tales que se sabe que existe un número natural que satisface la propiedad, pero no hay tal número natural ha sido encontrado.

Supongo que ese número podría ser calculada dado suficiente tiempo, así que la pregunta es, realmente, preguntando si hay alguna "interesante" números naturales tan enorme que nadie ha tenido tiempo para encontrar aún.

Por supuesto, supongo que la solución a algunos de los NP-completos problema dado algunos convenientemente gran entrada califica, de ahí la calificación de "interesante".

Edit: parece que hay dos categorías básicas de estos ejemplos hasta ahora: los conjuntos que contienen sólo números que son tan grandes que hasta ahora es computacionalmente imposible encontrar elementos de ellos, y se establece en la que es muy difícil determinar la pertenencia.

Answer 1

La conjetura de Artin da como un conjunto. Se ha demostrado que existen en la mayoría de los dos números primos $q$ que no generan infinitamente muchos de los grupos cíclicos $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^*$, $p$ prime. Sin embargo, ni una sola prime que genera infinitamente muchos de estos grupos es conocido. Por lo tanto, existe al menos un primer con la propiedad entre los $3,5,7$, sin embargo, nadie sabe de ellos (o ella).

Answer 2

Aunque no son exactamente definido por una propiedad, los llamados números de Ramsey contiene buenos ejemplos a lo largo de las líneas de su pregunta. El número de $R(6,6)$ menciona a continuación es el entero más grande $n$ para el cual existe un grupo de $n$ personas dentro de la cual no existe ningún subconjunto de 6 amigos comunes, y también no es subconjunto de 6 mutuo no conocidos. (Una suposición es que conocidos son sólo mutuo. Dos personas son ambos conocidos unos de otros, ni tampoco es un conocido de la otra.)

Erdős nos pide que imaginemos una fuerza alienígena, mucho más poderoso que nosotros, el aterrizaje en la Tierra y exigiendo el valor de R(5,5) o que se destruir nuestro planeta. En ese caso, dice, se debe reunir todos nuestros los equipos y todos los matemáticos y el intento de encontrar el valor. Pero supongamos, en cambio, que piden R(6,6). En ese caso, él cree, se debe tratar de destruir a los alienígenas. -Joel Spencer

Tal vez un lógico o dos va a hablar, demasiado. Tengo una corazonada, la situación es mucho peor. No me sorprendería si hay (bajo la suposición de algunos razonable de los axiomas de las matemáticas) propiedades para que el conjunto de números enteros tener esa propiedad se puede probar la no-vacío, pero para el que también es seguramente el caso de que no se entero en el conjunto puede nunca ser identificados - porque es lógicamente imposible, no porque el cálculo es intratable.

Un lógico también podría aclarar si algo parecido a lo que se describe aquí las respuestas a su pregunta afirmativamente.

Answer 3

El singleton que consiste en el único número de $T$ donde $T$ es el valor de verdad de la Hipótesis de Riemann.

El conjunto de truncado decimal expansiones de Chaitin es constante.

(Estos dos ejemplos, probablemente, en realidad no se ajuste a sus criterios, pero que ilustran un divertido aspecto de este problema).

El conjunto de contraejemplos a Mertens' conjetura...