Inducción a partir de un subgrupo normal, problema con los grados

Question

Supongamos que $K$ es un campo arbitrario, $G$ un grupo finito y $N$ un subgrupo normal. Si se conocen todas las representaciones irreducibles de $N$ y luego formar las representaciones inducidas, se puede utilizar la maschine de Mackey para comprobar si son irreducibles o no.

Pregunta 1: ¿Es esto suficiente para obtener todas las representaciones irreducibles de $G$ ¿o hay que tomar también otros subgrupos? ¿Por qué?

He intentado utilizar este método en este ejemplo: representación inducida, grupo diédrico $K=\mathbb{Q}$ , $G=D_p$ y $N=C_p$ . Descubrí que $N$ tiene dos representaciones irreducibles (la trivial y una $p-1$ dimensional). Luego tomé el $p-1$ dimensional para inducirla a una representación de $G$ y comprobado con Mackey maschine que sigue siendo irreductible. Pero según la reciprocidad de Frobenius debería tener el grado $(p-1) \cdot [G:N] = 2(p-1)$ y no $p-1$ como en el puesto.

Pregunta 2: ¿Por qué la inducción no funciona aquí? Según el post $G$ debe tener representaciones irreducibles en forma de árbol con dimensiones 1, 1, p-1, y ninguna de ellas con $2(p-1)$ .

Saludos cordiales

Answer 1

Según lo solicitado:

La representación inducida citada en la pregunta no es irreducible, sino un múltiplo de un carácter irreducible. De hecho, la representación inducida tiene grado $2(p-1)$ y es la suma de dos copias del $(p-1)$ -representación irreducible de grado de $G$ .