¿Es cierto que si $V(\mathfrak a)$ es irreducible, entonces $\mathfrak a$ ¿es el primer ideal?

Question

¿Es cierto que si $V(\mathfrak a)$ es irreducible, entonces $\mathfrak a$ ¿es el primer ideal?

Sé que si $V$ es un conjunto algebraico afín irreducible si y sólo si $I(V)$ es un ideal primo. ¿Puedo utilizar este resultado?

Answer 1

Tome $\mathfrak a=(X^2,XY)$ sur $\mathbb C[X,Y]$ . Entonces $V(\mathfrak a)$ es irreducible si $I(V(\mathfrak a))$ es un ideal primo. Pero $I(V(\mathfrak a))=\sqrt{\mathfrak a}=(X)$ Por lo tanto $V(\mathfrak a)$ es irreducible. Pero $\mathfrak a$ no es un ideal primo, así que la respuesta a tu pregunta es no.

Answer 2

Una pista: Intenta encontrar un polinomio reducible $f \in K[X]$ que sólo desaparece en un punto de $K$ (estos polinomios existen). ¿Qué te dice esto?