$\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor nx \rfloor}{n}=x$

Question

¿Cómo puedo probar que $\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor nx \rfloor}{n}=x$$x\in\mathbb{R}$? Veo que $\lfloor nx\rfloor = n\lfloor x \rfloor + \lfloor n(x-\lfloor x \rfloor )\rfloor + O(1)$ pero no estoy seguro de cómo tratar con el medio plazo.

Answer 1

¿Por qué no empezar de $nx=\lfloor nx\rfloor +e_n(x)$ donde $0\le e_n(x)\lt 1$?