Un "funcional" de la definición de grupo simple?

Question

Nos suele dar la definición de grupo simple de la siguiente manera,

Grupo Simple. Un grupo de $(G,\circ)$ se dice simple si no contiene adecuada trivial normal subgrupo de $G$.

Donde por trivial subgrupo normal de un grupo de $G$ nos referimos a $\langle e\rangle$ donde $e$ es el elemento de identidad de $G$.

También, podemos dar la definición de la conexión de un espacio topológico de la siguiente manera,

Conectado Espacio Topológico. Un espacio topológico $(X,\mathfrak{T})$ dijo estar conectado si no contiene adecuada trivial clopen subconjunto de $X$.

Yo no podía dejar de notar la similitud entre estas dos definiciones (especialmente la cursiva partes de las definiciones) y por lo que he tratado de formular la definición de Simples Grupos de análoga manera de la siguiente definición de Conectado Espacios Topológicos,

Un espacio topológico $(X,\mathfrak{T})$ dijo estar conectado si para toda función continua $f:X\to\{0,1\}$, es constante.

Un "natural" analógica de esta definición en el caso de simples grupos pueden ser,

Definición. Un grupo de $(G,\circ)$ se dice simple si para todos los homomorphisms $f:G\to\mathbb{Z}_2$, es constante.

Sin embargo, yo no puedo demostrar (o refutar) si la definición anterior es equivalente a la definición de simple los grupos que he mencionado anteriormente.

Preguntas

• Alguien me puede ayudar en esto?

• Si la definición no es equivalente, a continuación, puede que algunos "funcional" de la definición de un simple grupo de ser dado?

Answer 1

Esa definición no es correcta. Por ejemplo, el grupo de $\mathbb{Z}_2$ es simple, pero la identidad homomorphism $\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2$ es no constante. O si $G$ es cualquier grupo finito de orden impar, cualquier homomorphism $G\to\mathbb{Z}_2$ es constante, sino $G$ no necesita ser simple. El problema es que, en contraste con clopen subconjuntos de un espacio topológico, usted no puede simplemente tomar un subgrupo normal $K\subset G$, y obtener un homomorphism $G\to\mathbb{Z}_2$ mediante la asignación de $K$ $0$y todos los otros elementos de $G$$1$. Que normalmente no es un homomorphism.

Un correcto "funcional" de la definición de un simple grupo es que un grupo no trivial $G$ es simple, si cualquier homomorphism $f:G\to H$ $G$ a cualquier otro grupo es inyectiva o trivial (donde "trivial" significa que envía cada elemento de la identidad). De hecho, un homomorphism es inyectiva si su núcleo es el subgrupo trivial y trivial iff su núcleo es de $G$, así que esto es sólo diciendo que el único normal subgrupos de $G$ son el subgrupo trivial y $G$.

(Aparte: me requieren $G$ a ser trivial en esta definición, porque el trivial grupo no es simple; del mismo modo, el vacío espacio topológico no está conectado (consulte la https://ncatlab.org/nlab/show/too+simple+a+ser+simple). Usted puede evitar que indica que $G$ es trivial diciendo que en lugar de que cada homomorphism $f:G\to H$ es exactamente uno de los inyectiva y trivial. Del mismo modo, se puede solucionar la definición de la interconexión diciendo cada continuas $f:X\to\{0,1\}$ tiene exactamente un punto en su imagen.)

Answer 2

Sólo hay un homomorphism del grupo cíclico de orden $9$ en el grupo de orden $2$ (el cero homomorphism), pero que el grupo no es sencillo.