Sea $X$ y $A$ son espacios topológicos de Borel, es decir son homeomorfos a subconjuntos de Borel de un espacio métrico completo separable. Sea además $\pi$ sea un núcleo estocástico universalmente medible en $X$ dado $A$ y que $T$ sea un núcleo estocástico medible de Borel en $X$ dado $X\times A$ . Defina $$ P(x,B) = \int_AT(x,a,B)\pi(x,\mathrm da) $$ para cualquier $B\subseteq X$ . ¿Es cierto que $P(\cdot,B)$ es una función universalmente medible para cualquier conjunto universalmente medible $B$ ?
Respuesta
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El siguiente argumento está tomado directamente del apéndice (página 376) del libro de Michael Sharpe Teoría general de los procesos de Markov .
Un núcleo acotado $K$ de $(M,{\cal M})$ a $(E,{\cal E})$ amplía la automati únicamente a un núcleo de $(M,{\cal M}^u)$ a $(E,{\cal E}^u)$ . Para $x\in M$ , ampliar $K(x,\cdot)$ de la única forma posible de ser una medida sobre $(E,{\cal E}^u)$ . Para $\mu$ una medida sobre $(M,{\cal M})$ y $f\in b{\cal E}^u$ elige $f_1,f_2\in b{\cal E}$ con $f_1\leq f\leq f_2$ y $\mu K(f_2-f_1)=0$ . Entonces $\mu (Kf_2-Kf_1)=0$ , por lo tanto $Kf\in {\cal M}^u$ .
