Me preguntaba es que siempre cierto que si $\alpha$ $\beta$ son no-cero de los números reales, entonces se puede poner $|m\alpha+n\beta|$ arbitrariamente cercano a cero, para algunos no-cero enteros $m$$n$. Mi conjetura sería "no", pero yo no podía llegar con un simple contador de ejemplo. Lo siento de antemano si hay una manera muy simple. (Que es fácilmente visto para ser verdad al $\alpha$ $\beta$ son racionales, ya que puede ser igual a cero!!! Pero, de alguna manera siento como que no debería ser cierto para todos los reales. Primero trató de probar que es cierto teniendo en cuenta la densidad de los racionales, pero creo que he fallado, por eso creo que no es verdad.) Muchas gracias!
Respuestas
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[Argumento]: Supongamos que, por el contrario, que no se puede obtener cerca de cero (no trivial). Queremos demostrar que la relación $\frac{\alpha}{\beta}$ es racional. Mirar el conjunto $$S = \{m\alpha + n\beta, m,n \in \mathbb Z\}$$ Clearly that set is closed under addition and closed under multiplication by integers. We note that if there are any real accumulation points for S then 0 is an accumulation point. (Pf: differences between elements of S are also elements of S and if some sequence drawn from S converged to L, say, the elements in that sequence would draw arbitrarily close to each other.). Thus if S does not have 0 as an accumulation point there is a least positive element of S, call it A. But then all elements of S are multiples of A (else the division algorithm would hand us a smaller positive element of S). in particular $\alfa$ = MA and $\beta$ = NA for integers M and N. But then $\frac{\alpha}{\beta}$ = M/N .
Cfr
Puntos
2525
Esto no es cierto en general.
Tome $\alpha=\beta=1$ para un contraejemplo. Usted no puede encontrar un valor distinto de cero de la secuencia de los elementos de la convergencia a cero.
Sin embargo es cierto si se toma por ejemplo,$\alpha=1$$\beta=\sqrt{2}$.
$$G=\{m \alpha + n \beta | (n,m) \in \mathbb Z^2\}$$ es un subgrupo de los reales. Se trata de una clásica resultado de que los subgrupos de la real son discretas o densa.
