¿Ideal generado por un número finito de polinomios?

Question

Antecedentes

He estado confundido acerca de una definición particular en el libro de texto para mi clase de álgebra abstracta, Ideales, variedades y algoritmos de Cox, Little y O'Shea. Es frustrante porque siento que tengo una comprensión parcial de lo que la definición está tratando de decir, pero cuando se trata de ello simplemente me encuentro confundido. Así que, en lugar de sufrir por mí mismo durante más tiempo con esta definición, he decidido recurrir a ustedes para que me ayuden a entender este concepto aparentemente sencillo.

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Lo que entiendo

En primer lugar, entiendo (al menos en el contexto de este libro) que un ideal es. La definición que mi libro da para un ideal es

Definición. Un subconjunto $I\subseteq k[x_1,..., x_n]$ es un ideal si se cumple:

(i) $0\in I$ .

(ii) Si $f,g\in I$ entonces $f+g\in I$ .

(iii) Si $f\in I$ y $h\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $hf\in I$ .

Me parece una definición sencilla y fácil de entender. Mi problema, sin embargo, surge unas líneas más adelante cuando definen un ideal generado por un número finito de polinomios.

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Lo que no entiendo

Y ahora, te doy la definición que me ha estado causando una increíble cantidad de confusión y frustración.

Definición. Dejemos que $f_1,...,f_s$ sean polinomios en $k[x_1,...,x_n]$ . Entonces establecemos $$\langle f_1,...,f_s \rangle=\Big\lbrace \sum_{i=1}^s h_if_i \ | \ h_1,...,h_s\in k[x_1,...,x_n] \Big\rbrace.$$

Sé lo que estás pensando. ¿Cómo es que no entiende esto ? Me gustaría saber la respuesta a esta pregunta, pero mientras tanto, ¿puede alguien ayudarme a visualizar cómo es este conjunto? Tengo entendido que $\langle f_1,...,f_s \rangle$ es un ideal, pero no entiendo su estructura, si eso tiene sentido. En otras palabras, no puedo visualizar esta definición de forma que tenga sentido para mí. Los autores hacen una nota ligeramente útil, diciendo que "podemos pensar en $\langle f_1,...,f_s \rangle$ como consistente en todas las "consecuencias polinómicas" de las ecuaciones $f_1=f_2=...=f_s=0$ ."

Para explicar un poco más mi confusión, lo que pido es una definición menos "compacta". Cuando leo esta definición, por alguna razón lo único que se me ocurre es $$f_1h_1+f_2h_2+...+f_sh_s.$$ Pero eso no tiene sentido, porque $\langle f_1,...,f_s \rangle$ se supone que genera un set no un solo polinomio.

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Como siempre, gracias a todos por su tiempo. Si consideran que esta es una pregunta estúpida o tonta, siento haberles decepcionado Soy un alumno lento, y a veces me atasco con cosas estúpidas.

Ah, y ¡feliz Halloween!

Answer 1

¿Ayudaría ver el conjunto con polinomios explícitos en lugar del $f_1, f_2, \dots, f_n$ ?

Por ejemplo, veamos un ejemplo explícito cuando $n = 2$ , por lo que es un ideal generado por 2 polinomios. Además, trabajaremos en un anillo de polinomios en dos variables sobre $k$ es decir $k[x,y]$ .

Aquí está el ideal generado por los polinomios $x^2 - 1$ , $yx+x$ . $$\langle \, x^2 - 1, \, yx+x \, \rangle = \{ \, f\cdot(x^2 - 1) + g\cdot(yx + x) \, | \, f,g \in k[x,y] \, \}.$$

Así, los elementos del conjunto son cualquier polinomio que pueda escribirse de la forma $f \cdot (x^2 - 1) + g \cdot (yx+x)$ . Pero podemos elegir $f,g$ para ser $\textit{any}$ polinomio que queremos. Por ejemplo, sabemos $x^2 - 1$ está en ese conjunto porque podemos elegir $f = 1, g = 0$ . También sabemos que el polinomio $x^3-x+yx ^2 + x^2$ está en el conjunto, porque podemos elegir $f = x, g = x$ .

Si estás familiarizado con el álgebra lineal quizá puedas, en cierto modo, establecer una conexión entre un ideal generado por polinomios y el ámbito de un conjunto de vectores. Puedes pensar en él como, el conjunto de todas las cosas que se pueden hacer a partir de los objetos que lo definen.

Answer 2

Estuviste cerca.

El ideal $(f_1,...,f_s)$ de $k[x_1,..., x_n]$ es el conjunto de todo polinomios que pueden expresarse como $h_1f_1+\cdots +h_sf_s$ para algunos $h_1,...,h_s \in k[x_1,..., x_n]$ .

En otras palabras, las "combinaciones lineales" de $f_1,...,f_s$ donde los "coeficientes lineales" son elementos arbitrarios $h_1,...,h_s$ de $k[x_1,..., x_n]$ .

En cuanto al punto del autor sobre los ceros comunes . . .

Si $\bar{k}$ es una extensión algebraicamente cerrada de $k$ y si hay algún $a = (a_1,...,a_n) \in \left(\bar{k}\right)^n$ tal que $f_1(a) = \cdots = f_s(a) = 0$ entonces $a$ es automáticamente un cero de cualquier polinomio de la forma $h_1f_1+\cdots +h_sf_s$ Por lo tanto $a$ es un cero común para todos los miembros del ideal $(f_1,...,f_s)$ .

En particular, si ha identificado un cero común $a \in \left(\bar{k}\right)^n$ para $f_1,...,f_s$ , entonces si $g \in k[x_1,..., x_n]$ es tal que $g(a) \ne 0$ se deduce que $g$ es no en el ideal $(f_1,...,f_s)$ .

Un resultado importante, no trivial, es una inversión parcial: Si $g \in k[x_1,...,x_n]$ es tal que $g,g^2,g^3,...$ no están en el ideal $(f_1,...,f_s)$ Hay un poco de $a \in \left(\bar{k}\right)^n$ tal que $a$ es un cero común de $f_1,...,f_n$ pero $a$ no es un cero de $g$ .

Answer 3

Tal vez una buena manera de entender esto (o de entender cualquier cosa, en realidad) sea ver ejemplos.

La definición de ideal tiene sentido en cualquier anillo, así que veamos $\Bbb Z$ primero. Todo ideal, pronto te persuadirás, es un conjunto $d\Bbb Z\subset\Bbb Z$ es decir, el conjunto de todos los múltiplos de un número dado $d$ . ¿Y si se trata de tomar dos números y mirar $\langle d_1,d_2\rangle\subset\Bbb Z$ ? Por favor, hazlo con números concretos. Como por ejemplo $d_1=8$ y $d_2=6$ ? Se quiere describir la totalidad de todos los números escribibles en la forma $8m+6n$ . Rápidamente se ve que se trata de un ideal en el sentido de la definición, y se ve que el conjunto es igual a $2\Bbb Z$ . Esto es la teoría básica de los números.

Ahora haz lo mismo con un anillo de polinomios, pero en una sola variable, $R=\Bbb Q[x]$ . Una prueba ( usted demostrarlo, con la división euclidiana de polinomios) que todo ideal de $R$ es de la forma $fR$ , donde $f$ es un polinomio bien elegido. De hecho, para un ideal no nulo $I$ , usted toma $f$ sea un elemento no nulo de $I$ de menor grado. Entonces, ¿qué es $\langle f_1,f_2\rangle$ cuando $f_1$ y $f_2$ son dos polinomios en $x$ que se dan? Al igual que con los números, lo ideal es $gR$ donde $g$ es el máximo común divisor de $f$ y $g$ . Convénzase de que $\langle x^3-1,x^2-2x+1\rangle$ es el conjunto de todos los múltiplos de $x-1$ .

Las cosas ya no son tan sencillas cuando se tienen polinomios en más de una indeterminada. Pero al menos se obtiene una visión al observar los casos más simples, y espero que se vea que el conjunto de todos los posibles $h_1f_1+\cdots+h_nf_n$ es un ideal.