La probabilidad sobre la circunferencia

Question

Deje $\xi$ estar distribuidos de manera uniforme en $\left[-\pi,\,\pi\right]$, $X = \cos \xi$, $Y = \sin \xi$. Es cierto que $\Pr \left( X=1\mid Y=0 \right) = 0.5$?

Es obvio que este problema no puede ser resuelto en el plazo de eventos como $\Pr \left( Y=0 \right) = 0$. Por lo tanto estoy para calcular condicional pdf $p \left( x \mid y \right)$. Pero articulación pdf $p \left( x, y \right)$ se distribuye en el cero medido conjunto. Por lo tanto, estoy un poco confundido con esto.

EDIT: El problema clave aquí es que la distribución en la unidad de la circunferencia es singular en $\mathbb{R}^2$. Sin embargo, yo todavía no sé si esta igualdad es correcta en cualquier sentido.

Answer 1

$X$ $Y$ son individualmente continuo de variables aleatorias pero no son conjuntamente continuo de variables aleatorias, y de la que no gozan de un conjunto pdf; el punto al azar, $(X,Y)$ perforce se encuentra en el círculo unidad, que es un conjunto de medida $0$ en el avión. Sin embargo, en este caso, con la condición de distribuciones que existen (aunque condicional densidades no), y en este caso en particular, acondicionado en $Y$ tener valor $0$ (un evento de probabilidad $0$ pero no imposible evento $\emptyset$), el condicional distribución de $X$ es un discretos de distribución, es decir, $X$ es condicionalmente una discreta variable aleatoria que toma los valores $+1$$-1$, con igual probabilidad $\frac 12$. Por lo tanto, es perfectamente correcta de escribir $$P\{X = 1\mid Y = 0\} = \frac 12.$$