¿Son todos $p$ -¿son iguales los sistemas numéricos de los radicales?

Question

Después de sólo haber aprendido sobre $p$ -número de radicales Ahora tengo otra pregunta que no puedo descifrar en la página de Wikipedia.

Según tengo entendido, el $p$ -Los números radicales completan básicamente los números racionales de la misma manera que los números reales, excepto que con una noción diferente de distancia, en la que las diferencias en los dígitos más significativos corresponden a distancias pequeñas, en lugar de las diferencias en los dígitos menos significativos. Así que, si lo he entendido bien, los $p$ -Los números arcaicos contienen los números racionales, pero no los irracionales, mientras que los no racionales $p$ -Los números de los ádicos no están en $\mathbb{R}$ (que alguien me corrija si me equivoco).

Ahora los números reales no dependen de la base en la que se escriban los números. Sin embargo, la construcción de los $p$ -según parece, depende de la $p$ elegido. Por otro lado, estoy seguro de que la construcción de los números reales puede escribirse de forma que aparentemente dependa de la base, por lo que la apariencia podría ser engañosa.

Por eso mi pregunta: ¿Son los $p$ -número de radicales igual para cada uno $p$ (es decir, son por ejemplo $2$ -adic y $3$ -Los números arcaicos son los mismos números, sólo que escritos en bases diferentes), o son diferentes (excepto los números racionales, por supuesto). Por ejemplo, tomemos el $2$ -número de dadas $x := ...1000001000010001001011$ (es decir $\sum_{n=0}^\infty 2^{n(n+1)/2}$ ), que IIUC no es racional (porque no es periódico). Puede $x$ también puede escribirse como $3$ -número de la década, o es que no hay $3$ -¿número de la serie que corresponde a esta serie?

En caso de que sean diferentes, ¿hay algún campo más grande que contenga todos los $p$ -números arácnidos para la arbitrariedad $p$ ?

Answer 1

No, los diferentes $p$ -Los sistemas numéricos clásicos no son en absoluto compatibles entre sí.

A $p$ -el número de la adicción es un número que no es $p$ -ádica; es una $p$ -número de identificación. Del mismo modo, un número real no es un número que es real, es un número real. No existe una noción unificada de "número" de la que todos estos sean subconjuntos; son cosas completamente separadas, aunque puede haber formas de identificar trozos de ellos en algunos casos (por ejemplo, todos ellos contienen una copia de los números racionales).

Ahora, alguien aquí está obligado a señalar que si tomamos el cierre algebraico de algún $\mathbb{Q}_p$ el resultado será algebraicamente isomorfo a $\mathbb{C}$ . Pero cuando hablamos de $p$ -números arcaicos no estamos hablando sólo de su álgebra, sino también de su valor absoluto, o al menos de su topología; y una vez que se tiene en cuenta esto, son realmente diferentes. (E incluso si sólo quieres el isomorfismo algebraico, esto requiere el axioma de elección; no puedes identificar realmente un isomorfismo específico, y ciertamente no hay ninguna forma natural de hacerlo).

¿Cómo podemos ver que son realmente diferentes? Bueno, primero veamos el álgebra. El $5$ -adics, por ejemplo, contienen una raíz cuadrada de $-1$ , mientras que el $3$ -adics no. Por lo tanto, si se escribe un $5$ -número de ácido que se eleva al cuadrado a $-1$ no puede haber ningún $3$ - el número de la adicción.

Pero más arriba he afirmado algo más fuerte: que una vez que se tiene en cuenta la topología, no hay forma de reconstruir las distintas $p$ -ádicos juntos, lo que no descarta lo anterior. ¿Cómo podemos ver esto? Bien, veamos la topología cuando observamos los números racionales, los distintos $p$ -topologías de la adicción en $\mathbb{Q}$ . Estas topologías no sólo son distintas -- cualquier conjunto finito de ellas es independiente lo que significa que si dejamos que $\mathbb{Q}_i$ sea $\mathbb{Q}$ con el $i$ que estamos considerando, entonces la diagonal es densa en $\mathbb{Q}_1 \times \ldots \times \mathbb{Q}_n$ .

Dicho de otro modo -ya que estas topologías provienen todas de las métricas- esto significa que para cualquier $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{Q}$ existe una secuencia de números racionales $a_1,a_2,\ldots$ tal que en la topología número 1, ésta converge a $c_1$ pero en la topología número dos, converge a $c_2$ y así sucesivamente. (De hecho, más generalmente, dado cualquier conjunto finito de valores absolutos no equivalentes en un campo, las topologías resultantes serán independientes).

Así que incluso en $\mathbb{Q}$ Las diferentes topologías no coinciden en absoluto, por lo que no es posible unirlas pasando a una configuración mayor.