Resolver $\lfloor \sqrt x +\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\rfloor=x$

Question

$$\lfloor \sqrt x +\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\rfloor=x$$ He intentado resolver esta ecuación. Lo primero es $\lfloor \sqrt x +\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\rfloor \in \mathbb{Z} $ así que $x \in \mathbb{Z}$
segundo $$\sqrt x +\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2} \geq \sqrt 0 +\sqrt{0+1}+\sqrt{0+2} \\\to x \in \mathbb{N}$$ para que podamos comprobar $x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots$ por un programa de MATLAB. He comprobado los números naturales para encontrar la solución. He encontrado $x=8,9$ trabajó aquí.
Ahora mi pregunta es sobre alguna manera de resolver analíticamente la ecuación, u otra idea. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes utilizar desigualdades para simplificar tu problema.

Desde $\lfloor x \rfloor \le x$ . Por lo tanto, hemos

\begin {align} x&= \lfloor \sqrt x+ \sqrt {x+1}+ \sqrt {x+2} \rfloor \\ & \le \sqrt x+ \sqrt {x+1}+ \sqrt {x+2} \\ & \le 3 \sqrt {x+2} \\ \end {align}

$$\implies x^2 \le 9(x+2) \; ; x \in \mathbb Z$$

Esto nos da la gama $x \in [-1,10] \tag1$ .

También $\lfloor x \rfloor \ge x-1$ . Por lo tanto, hemos

\begin {align} x&= \lfloor \sqrt x+ \sqrt {x+1}+ \sqrt {x+2} \rfloor \\ & \ge \sqrt x+ \sqrt {x+1}+ \sqrt {x+2} \color {rojo}{-1} \\ & \ge 3 \sqrt {x}-1 \\ \end {align}

$$\implies x+1 \ge 3\sqrt x$$

$$\implies x^2-7x+1\ge 0 \, ; x \in \mathbb Z$$

Esto nos da $x \in (-\infty, 0]\cup [7,\infty)\tag2$

Tomando la intersección de $(1)$ y $(2)$ y cuidando el dominio, es decir $x\ge 0$ obtenemos

$$\color{blue}{x \in \{0,7,8,9,10\}}$$

Ahora puede comprobar si hay $x=0,7,8,9,10$ que ahora es bastante fácil.

Answer 2

Esto es un poco pesado, pero $x\in\mathbb{Z}$ y $x\ge0$ (necesario para que $\sqrt x$ para ser real) nos dice

$$x\ge\lfloor\sqrt0+\sqrt1+\sqrt2\rfloor=\lfloor2.414\rfloor=2$$

que nos dice

$$x\ge\lfloor\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4\rfloor=\lfloor5.145\rfloor=5$$

que nos dice

$$x\ge\lfloor\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7\rfloor=\lfloor7.331\rfloor=7$$

que nos dice

$$x\ge\lfloor\sqrt7+\sqrt8+\sqrt9\rfloor=\lfloor8.474\rfloor=8$$

Por último, vemos que si $x\ge10$ entonces la función $f(x)=\sqrt x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}-x$ es negativo, ya que $f(10)=-0.056997...$ y

$$f'(x)={1\over2\sqrt x}+{1\over2\sqrt{x+1}}+{1\over2\sqrt{x+2}}-1\lt{3\over2\sqrt 9}-1=-{1\over2}\lt0$$

por lo que no podemos tener $x\le\sqrt x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}$ que se requiere para tener $x=\lfloor\sqrt x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\rfloor$ , para $x\ge10$ . Esto deja las dos posibilidades $x=8$ y $9$ que sí resuelven la ecuación.

Answer 3

Primero resuelve las desigualdades reales $$ x \le \sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2} < x+1 \tag{1}$$ Solución de $x = \sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}$ es numéricamente $9.8956$ y la solución de $x = \sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=x+1$ es numéricamente $7.9813$ . Así que la solución de (1) es $$ 7.9813 < x \le 9.8956 $$ Por último, asuma que $x$ es un número entero. Obtenemos $x=8$ o $x=9$ .

Answer 4

Comentario lateral: $\frac{\sqrt{m-1} + \sqrt{m+1}}2 \ge \sqrt{\sqrt{m^2 - 1}}>\sqrt m$ por $AM-GM$ teorema.

Así que $\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} \approx 3\sqrt{x+1}$ pero ligeramente más grande.

$x \le \sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}< 3\sqrt{x+1} < x+1$ implica $x^2 < 9x + 9 < x^2 + 2x +1$ (la primera desigualdad es definitiva, la segunda es aproximada).

$x^2 <9x+9$ (lo cual es definitivamente cierto) implica $x^2 - 9x -9 = (x -\frac {9+\sqrt{81 + 4*9}}2)(x -\frac {9-\sqrt{81 + 4*9}}2) < 0$ lo que implica $x < \frac {9+\sqrt{81 + 4*9}}2= \frac {9+3\sqrt{13}}2\approx 9.9$ pero es *definitivamente menor que $10$ . $9$ es un límite superior definitivo de $x$

$9x + 9 < x^2 + 2x + 1$ (que es sólo aproximado) implica $x^2 - 7x -8 = (x-8)(x+1) > 0$ implica $x > 8$ (o $x < 1$ que no sería posible).

Así que $9$ es una solución y $8$ es posible si $\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} < 9 \le 3\sqrt{x+1}$ ... que, ... en realidad es el caso de $x= 8$ . (Como $3\sqrt{8+1} = 9$ exactamente).

Así que las soluciones son $8$ y $9$ .

Hmmm.... En realidad no he mostrado que falle por $x < 8$ pero para que eso se mantenga la diferencia entre $\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}$ y $3\sqrt{x+1}$ debe ser mayor que $1$ y eso es .... bueno, claramente no es cierto para $x \approx 8$ . Podemos comprobar que $7$ no lo hace.

También estoy asumiendo la tasa de que $x$ los aumentos "superarán" a los $\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}$ . El cálculo lo verifica.

Answer 5

Está claro que para algunos $x$ tienes $LHS\lt x$ y para otros $x$ tienes $LHS\gt x$ y además se podría tener la igualdad para lo suficientemente pequeño $x$ .

Un cálculo sencillo da como resultado $LHS\lt x$ para $x\lt8$ y $LHS\gt x$ para $\gt9$ .

Las soluciones son $x=8$ y $x=9$ porque $\sqrt8+\sqrt9+\sqrt{10}=8.9907...$ y $\sqrt9+\sqrt{10}+\sqrt{11}=9.4789...$