Como calcular $\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)+\ln(1-x)}{x^2}$?

Question

Soy nuevo en el cálculo de límites con infinitesimales y estoy teniendo problemas para resolver esta:

$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)+\ln(1-x)}{x^2}$$

He intentado reemplazar mediante equivalente infinitesimales y se me ocurrió esto:

$$\lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^2}$% $# %-1 de #%. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

Usted no puede sustituir a una función con un equivalente, si sumas involucradas. Aquí es mejor usar expansión de Taylor: $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) $$ de modo que su límite se convierte en $$ \lim_{x\to0}\frac{(x-x^2/2)+(-x-x^2/2)+o(x^2)}{x^2} $$

Como se puede ver, $x$ $-x$ cancelar, pero hay algo del orden de $x^2$ restante.

---

Comentario

Usted podría utilizar equivalentes al darse cuenta de que $\ln(1+x)+\ln(1-x)=\ln(1-x^2)$, lo que equivale a $-x^2$, pero esto funciona en el caso particular y no ayuda en un caso como el $$ \lim_{x\to0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2} $$

Answer 2

Uso

• $\ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} - \cdots$

• $\ln(1-x) = -x -\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots$

Entonces usted tiene %#% $ #%

Answer 3

$$\begin{align}\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)+\ln(1-x)}{x^2} &= \lim_{x\to0} \frac{-\ln(1-x^2)}{-x^2} = -1 \end{align}$$

Desde $\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(x + 1)}{x} = 1$.

Answer 4

Aplicar a L'Hospital:

$f(x)=\ln(x+1)+\ln(1-x)$

$g(x)=x^2$

Tenga en cuenta que $f(0)=g(0)=0$.

Es $f'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$ y $g'(x)=2x$. Tenga en cuenta que $f'(0)=g'(0)=0$ para aplicar a L'Hospital una segunda vez:

$f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{(1-x)^2}$ y $g''(x)=2$

$f''(0)=-2$ Y $g''(0)=2$. Por lo tanto:

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)+\ln(1-x)}{x^2}=\frac{-2}{2}=-1$

Answer 5

L'Hopital regla tenemos %#% $ #%