Análisis: Observación de prueba/derivación es incorrecto (parte en la prueba de que está mal)

Question

Estoy teniendo problemas para averiguar lo que el error es el derivado. No tengo idea de lo que está sucediendo en la primera línea, la forma en que una aplicación del Valor medio Teorema da una expresión a la derecha. Me acaba de verificarse, en algunas de las otras partes y parecen estar bien $\lim_{x \to 0} x\sin(1/x)$ es, de hecho,$0$, por lo que el límite de $2\xi\sin(1/\xi)$ también sería $0$.

Así que, honestamente, no estoy seguro de lo que el error está en el por encima de la derivación. Yo realmente podría utilizar un poco de ayuda. Gracias.

Answer 1

La identidad a través del teorema del valor medio tiene algunas específicas $\xi\in(0,x)$ y no para todas las $\xi$. Hay de hecho una secuencia $\{\xi_{n} \} $ tal que $\xi_{n} \to 0^{+}$ y $\cos(1/\xi_{n})\to 0$ (por ejemplo $\xi_{n} =2/((2n+1)\pi)$). No cada secuencia se comporta de esta manera, pero existe una tal secuencia. Por lo tanto no puede concluir $\lim_{\xi\to 0}\cos(1/\xi)=0$. Así algunos debe tener cuidado cuando aplicando el teorema de valor medio y la aplicación de limitan.