La expresión de la Chern-Simons funcional como una integral sobre una 3-a buen ritmo es sólo una notación abreviada. La integración en el Chern-Simons funcional difiere de la integración de formas diferenciales.
La integración puede formulado por medio de la teoría de Deligne-Beilinson cohomology. (Por favor, consulte el siguiente muy claro revisión por Frank Thuillier, y el segundo capítulo de su tesis.
Aunque la formulación de esta teoría por parte de los matemáticos Deligne y Beilinson fue completamente diferentes intenciones, esta teoría se encuentran las principales aplicaciones de cuantización geométrica y topológica de la teoría de campo. De hecho, la necesidad de entender profundamente diversos fenómenos tales como la Aharonov-Bohm efecto, el $B$-campo en la teoría de cuerdas, etc. llevó a los físicos (parcialmente) redescubrir esta teoría, como las obras de Wu y Yang y Orlando Álvarez.
En Deligne-Beilinson cohomology el medidor de potencial $\mathbf{A}$ , el Chern Simons característica de la clase $\mathrm{CS}(\mathbf{A})$ etc., son ejemplos de Deligne-Beilinson (DB) cocycles. Entre otras cosas, la Deligne-Beilinson teoría permite una clara integración de (DB) cocycles sobre la homología de los ciclos de un pacto colector $M$. La integral de valores estarán bien definidos modulo enteros.
Para suavizar los colectores de la Deligne-Beilinson cohomology puede ser construido por medio de la Cech-de Rham bi-complejo, claramente descritos en Orlando Álvarez de la referencia arriba. Sus objetos básicos son los Deligne-Beilinson (DB) cochains que consiste en una colección de datos locales:
$$\mathbf{\omega}^{(n)} = (\omega^{(n)}_{\alpha}, \eta^{(n-1)}_{\alpha \beta}, \zeta^{(n-2)}_{\alpha \beta \gamma}, …., c^{(0)}_{\alpha \beta , ….}, n^{(-1)}_{\alpha \beta , ...})$$
(la última en términos de la descomposición (con de Rham grado de $-1$) son parte integrante de la Cech cochains)
Por ejemplo, un Abelian medidor de potencial tiene los siguientes componentes:
$$\mathbf{A} = (A_{\alpha}, \psi_{\alpha \beta}, n_{\alpha \beta \gamma} )$$
Donde, cada uno de los objetos en las colecciones son Cech cochains de local de formas diferenciales con la disminución del formulario de grado y el aumento de la Cech grado definido en varias intersecciones de una buena cobertura de $M$.
El coboundary operador $D$ en el DB cohomology (que satisface D^2=0) es
$$ D = \tilde{d} + \delta$$
Donde
$$ \tilde{d} = (-1)^c d$$
($d$ es el de Rham diferencial, $c$ es la Cech grado) y , $\delta$ es la Cech diferencial dada, por ejemplo, en un Cech 2-cochain:
$$\delta \psi_{\alpha \beta} = \psi_{\alpha \beta} + \psi_{\beta\gamma} + \psi_{\gamma\alpha} $$
El siguiente debe ser entendido: La acción del operador $\tilde{d}$ sobre el global de las formas (tales como medidor de las intensidades de campo) resultados en cero y su acción integral de la Cech cochains es una inyección de sus valores numéricos.
La anterior descomposición permite una definición natural de una taza de producto, simplemente por la suma de los diferentes componentes de todas las posibles cuña de productos de dos BD cochain componentes con el mismo de Rham y Cech grados.
Ejemplo: el coboundary de la Abelian medidor de potencial está dada por (resumiendo):
$$D\mathbf{A} = (0, \delta A + \tilde{d}\psi, \delta \psi + \tilde{d}n, \delta n)$$
Así, el cocycle condición para el vector potencial:
$$D\mathbf{A} = 0$$
produce el medidor de transformación en el doble intersecciones $, \delta A + \tilde{d}\psi = 0$ (segundo término),el tercer término $\delta \psi + \tilde{d}n$ es una reformulación de la condición de consistencia en un triple intersección, término, este último, afirma que la Cech cocycles son constantes en todas las intersecciones. La integralidad requisito de la Cech cocycles es equivalente a la de Dirac de la condición de cuantización.
Las relaciones anteriores se puede expresar por medio de los siguientes tic-tac-toe diagrama
\begin{array}{c c|c c c c c c c }
\Omega^2 & F & F_{\alpha} \\
& & \uparrow_{d} \\
\Omega^1 & & A_{\alpha} & \xrightarrow{\delta} & \delta A_{\alpha}= d\psi_{\alpha\beta} \\
& & & &\uparrow_{d} \\
\Omega^0 & & & & \psi_{\alpha\beta} & \xrightarrow{\delta} & \delta\psi_{\alpha\beta} = n_{\alpha\beta\gamma}\\
\hline
& & & & && n\\
& & U_{\alpha}& &U_{\alpha\beta}& &U_{\alpha\beta\gamma}\\
\end{array}
Como se mencionó en Orlando Alvarez del artículo, el uso de las relaciones anteriores, el flujo de la conexión de $\mathbf{A}$ puede ser expresado como:
$$\int F = 2 \pi \sum_{U_{\alpha \beta \gamma}} n_{\alpha \beta \gamma}$$
En el caso de $ \mathbf{A}$ es un plano de conexión (como en el Aharonov-Bohm efecto):
$$dA = 0$$
Tenemos más relaciones, tal como se representa en el siguiente tic-tac-toe diagrama
\begin{array}{c c|c c c c c c c }
\Omega^2 & 0 & 0 \\
& & \uparrow_{d} \\
\Omega^1 & A & A_{\alpha} & \xrightarrow{\delta} & \delta A_{\alpha}= d\psi_{\alpha\beta} \\
& & \uparrow_{d} & &\uparrow_{d} \\
\Omega^0 & & \psi_{\alpha} & \xrightarrow{\delta} & \psi_{\alpha\beta} + c_ {\alpha\beta} & \xrightarrow{\delta} & 0\\
\hline
& & & & && \\
& & U_{\alpha}& &U_{\alpha\beta}& &U_{\alpha\beta\gamma}\\
\end{array}
Dando lugar a la posibilidad de la existencia de la constante Cech 2-cocycles $c_{\alpha \beta}$. No hay integralidad restricciones en $c_{\alpha \beta}$, puesto que el $\psi$s son de calibre transformaciones de vectores potenciales define por lo tanto el modulo $2 \pi \mathbb{Z}$, entonces también el $c$s se dan modulo $2 \pi \mathbb{Z}$
El holonomy de la plana de conexión puede expresarse únicamente en términos de estas constantes Cech cocycles (por Favor vea la definición exacta de la integral en la secuela)
$$\mathrm{hol}(A) = e^{i \oint A} = e^{i \sum_{U_{\alpha \beta }} c_{\alpha \beta }}$$
Esta relación es un caso especial de la declaración general de que la integral de una BD cocycle más de una homología del ciclo se define el modulo $2 \pi \mathbb{Z}$.
Los dos casos anteriores, dará lugar a las caracterizaciones de la BD primera cohomology grupos $H_D^1(M, \mathbb{Z})$ en términos de Cech-de Rham cohomology grupos $ H^2(M, \mathbb{Z}) $ y el espacio de una de las formas en $M$ modulo enteros:
$$0 \rightarrow \frac{\Omega^1_{\mathbb{Z}} (M)}{ \Omega^1(M)}\rightarrow H_D^1(M, \mathbb{Z}) \rightarrow H^2(M, \mathbb{Z}) \rightarrow 0$$
La mano derecha de espacio da lugar a Aharonov-Bohm tipo de conexiones, mientras que la mano izquierda es responsable de vectores potenciales de la monopolo magnético tipo.
Ahora, para llevar a cabo la integración de una BD cocycle, uno tiene que elegir una poliédrica de la descomposición del ciclo de integración como Orlando Alvarez hizo e integrar cada componente de la BD cocycle en el correspondiente poliedro. Esta definición es independiente de la buena cobertura, poliédrica de descomposición o medir las transformaciones modulo $2 \pi \mathbb{Z}$ .
La integral del vector potencial vistos como BD una cocycle tiene la forma (generalización de Orlando Alvarez ecuación 2.8)
$$\oint_{\Lambda} A = \sum_{\alpha} \int_{\Lambda_{\alpha}} A_{\alpha } + \sum_{\alpha \beta} \int_{\Lambda_{\alpha \beta}} \psi_{\alpha \beta} + \sum_{\alpha \beta \gamma} \int_{\Lambda_{\alpha \beta \gamma}} n_{\alpha \beta \gamma} $$
Donde $(\Lambda_{\alpha}, \Lambda_{\alpha \beta}, \Lambda_{\alpha \beta \gamma})$ es un poliédrica de la descomposición de la trayectoria de $\Lambda$.
(En realidad, el último término no es necesario, ya que la $n_{\alpha \beta \gamma}$ son enteros)
Del mismo modo, la integral de la Chern Simons clase se expresa por medio de la BD componentes del vector potencial se da en Thuillier revisión de la ecuación 45:
$$\int_M \mathrm{CS}(\mathbf{A}) = \sum_{\alpha} \int_{M_{\alpha}} A_{\alpha }\wedge dA_{\alpha} + \sum_{\alpha \beta} \int_{M_{\alpha \beta}} \psi_{\alpha \beta} \wedge dA_{\beta} + \sum_{\alpha \beta \gamma} \int_{M_{\alpha \beta \gamma}} n_{\alpha \beta \gamma} A_{\gamma} + \sum_{\alpha \beta \gamma\delta} \int_{M_{\alpha \beta \gamma\delta}} n_{\alpha \beta \gamma} \psi_{\gamma \delta} $$
