Matrices en notación de Dirac

Question

Estoy en un curso universitario de mecánica cuántica y estamos empezando a utilizar la notación de Dirac. Estoy un poco confundido sobre cómo funciona exactamente todo esto.

Como he estudiado álgebra lineal, me siento muy cómodo con la idea de bases. Por lo tanto, entiendo que un operador transforma un vector en otro:

$$ \hat Q |\alpha \rangle = |\beta \rangle$$

También me siento cómodo con $$ | \alpha \rangle =\sum a_n| e_n \rangle \text{ where } a_n = \langle e_n | \alpha \rangle. $$ Además, la versión correspondiente para $\beta$ :

$$ | \beta \rangle =\sum b_n| e_n \rangle \text{ where } b_n = \langle e_n | \beta \rangle $$

A continuación, el libro define

$$\langle e_m | \hat Q | e_n\rangle \equiv Q_{mn} $$

Yo también lo entiendo. Los distintos $Q_{mn}$ son simplemente las entradas de la matriz que representa $\hat Q$ .

Este es mi problema...

Mi libro afirma que si una partícula está en estado $S(t)$ ,

$$\Psi(x,t)= \langle x|S(t) \rangle$$

donde el vector $|x\rangle$ es "la función propia de $ \hat x$ con valor propio $x$ ."

Pero la forma abstracta de esto me deja un poco perplejo. ¿Puede alguien escribir explícitamente una representación matricial/vectorial de esto? Además, ¿es posible escribir $S(t)$ ? Porque a mi entender es un vector al que no se le ha asignado un conjunto de bases. He intentado buscar en internet y también he intentado jugar con ello yo mismo, pero no he llegado muy lejos.

Answer 1

Este es el formalismo de Dirac. Es una generalización a bases continuas, es decir, aquellas enumeradas por un índice que toma valores en un conjunto continuo como $\mathbb{R}^n$ .

En ese escenario tienes que de la misma manera que $|e_n\rangle$ es una base discreta que permite descomponer

$$|\psi\rangle=\sum_{n}\langle e_n|\psi\rangle |e_n\rangle,$$

y con respecto a la cual se mantiene la relación de cierre

$$\sum_{n}|e_n\rangle\langle e_n|=\mathbf{1}$$

suponemos que podemos tener una base $|x\rangle$ enumerados por algún parámetro continuo como $x\in \mathbb{R}$ de forma que podamos descomponer

$$|\psi\rangle=\int \langle x|\psi\rangle |x\rangle dx$$

con relación de cierre

$$\int|x\rangle \langle x|dx = \mathbf{1}.$$

La cuestión es que aproximadamente si $A$ es un operador compacto, el teorema espectral te asegurará que tienes una base ortonormal discreta de vectores propios $|a_n\rangle$ tal que $A|a_n\rangle = a_n |a_n\rangle$ (Supongo que no degenerada para simplificar).

En $A$ no tiene límites, como ocurre a menudo en QM, no existe tal base. Pero supones que el tipo de base generalizada anterior sí existe. Entonces, si $X$ es ilimitado se supone que para cada valor propio $x\in \sigma(X)$ el espectro de $X$ hay un estado ket $|x\rangle$ con $X|x\rangle = x|x\rangle$ y formando una base.

Observa que siempre que tengas operadores de posición y de momento $X,P$ desea exigir $[X,P]=i\hbar$ y existe un teorema que asegura que al menos uno de ellos será no acotado, por lo que lo anterior será necesario entonces.

Esto es importante debido a los postulados de la QM. Los observables son operadores hermitianos. Los posibles valores a medir son exactamente los valores en el espectro, es decir, los "valores propios" y los estados con valor definido de la cantidad son los vectores propios, el valor medido es entonces el valor propio correspondiente.

Se postula entonces que si $A$ es el observable con base continua $|a\rangle$ entonces $\rho(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2$ es la densidad de probabilidad de encontrar el valor de $A$ en el estado $|\psi\rangle$ entre $a$ y $a+da$ .

A continuación, conecta esto con la mecánica de ondas. Consideremos una partícula en una dimensión. Tenemos el observable $X$ correspondiente a la posición. Sea $|S(t)\rangle$ sea el estado en el momento $t$ . Como sabemos la posición puede asumir cualquier valor posible por lo que $\sigma(X)=\mathbb{R}$ . Sea $x\in \mathbb{R}$ el correspondiente vector propio generalizado es $|x\rangle$ . La probabilidad de encontrar la partícula entre $x$ y $x+dx$ es entonces $\rho(x) = |\langle x|\psi\rangle|^2$ .

Así que haciendo contacto con la mecánica ondulatoria, vemos que $\Psi(x,t)=\langle x|S(t)\rangle$ de hecho.

Como observación final, todo eso de los vectores propios generalizados y las bases continuas del formalismo de Dirac es extremadamente útil y elegante, pero no es riguroso. En el análisis funcional riguroso no existe ningún vector propio para los operadores no doblados y estas expansiones no están definidas. Sin embargo, hay una solución que hace que todo tenga sentido, llamada el enfoque del triplete de Gel'fand.

Answer 2

Un simple (pero no riguroso) manera de pensar acerca de esto:

Su espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ está formado por el cuadrado integrable de las funciones de la línea real, que es de los elementos de $\mathcal{H}$ están dados por los mapas de $\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $\int_{-\infty}^{\infty} dx \,|\psi(x)|^2$ es finito, por ejemplo una Gaussiana, $\psi(x) = e^{-x^2/2}$.

Cada "ket" escribe $|\psi\rangle$ representa a algunos de mapa de $\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$.

Interior de los productos de dos de las tfe $|\psi\rangle, |\phi \rangle$ está dado por $\langle \psi| \phi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx\, \psi^*(x) \phi(x)$ donde $\psi(x), \phi(x)$ son los mapas correspondientes a las tfe.

Una simple manera de pensar acerca de la posición eigenket $|f_y\rangle$ es que se representa la "función" $f_{y}(x) = \delta(x-y).$ Estas son precisamente las "funciones propias" de la posición de operador de $\hat{x} : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ que se lleva a $\psi(x) \rightarrow x\ \psi(x)$. Que es $f_{y}(x)$ son las únicas funciones que resolver la ecuación $\hat{x} f_y(x) = \lambda f_y(x)$ con autovalor $\lambda = y$. La razón de las comillas alrededor de la palabra función y eigenfunction es que $f_y(x)$ no son de cuadrado integrable, es decir, que no están realmente en $\mathcal{H}$.

Hacer estas nociones preciso y riguroso es el tema de análisis funcional.

Answer 3

Lo importante a tener en cuenta (y que no siempre se destaca en los libros) es que la función de onda $\psi$ es en realidad la colección de los coeficientes que representan el estado del sistema en una base determinada.

El vector $|S\rangle$ es un elemento completamente abstracto de un espacio vectorial que mediante un postulado representará completamente el estado del sistema. Supongamos que se tiene un observable $A$ con valores propios $a$ y los correspondientes estados propios $|a\rangle$ , $$A|a\rangle=a|a\rangle,$$ entonces el estado $|S\rangle$ puede abarcarse en la base $\{|a\rangle\}$ , $$|S\rangle=\sum_a\psi(a)|a\rangle.$$ La colección de coeficientes $\psi(a)$ es la función de onda asociada al estado $S$ en la base definida por el observable $A$ . Si el observable $A$ tienen valores propios continuos, entonces la suma anterior se sustituye por una integral y la colección $\{\psi(a)\}$ tiene infinitos elementos y es en realidad una función continua sobre la variable $a$ .

Consideremos ahora el ejemplo concreto del estado del sistema en la base definida por la posición. Si el operador $\hat x$ tiene un estado propio $|x\rangle$ con valor propio $x'$ entonces $$\hat x|x\rangle=x'|x\rangle,$$ Dado que la función de onda de este estado es $\psi(x)$ la ecuación anterior puede escribirse como $$x\psi(x)=x'\psi(x)\Rightarrow (x-x')\psi(x)=0.$$ La última ecuación dice que $\psi(x)$ es distinto de cero sólo cuando $x=x'$ es decir, $$\psi(x-x')=\delta(x-x').$$ Consideremos ahora el producto interior de un estado arbitrario $$|S\rangle=\int\psi(x)|x\rangle dx,$$ con un estado propio de posición $|x'\rangle$ , $$\langle x'|S\rangle=\int\delta(x-x')\psi(x)dx=\psi(x').$$ Desde $x'$ es arbitraria podemos decir que $$\langle x|S\rangle=\psi(x),$$ que es la función de onda en la representación de posición.