¿Qué es una interpretación de la matriz exponencial?

Question

Acabo de leer acerca de la existencia de la "matriz exponencial"

$$e^X := \sum_{k = 0}^\infty\frac1{k!}X^k$$

¿Hay una manera sencilla de interpretar esto? Entiendo que la analógica entre número real exponentes como infinitas expansiones de Taylor. Sin embargo, no tengo fácil manera de interpretar en el caso de una matriz.

He leido que se relaciona de la Oda linear

Answer 1

Considere la posibilidad de un complejo diagonalizable $n \times n$ matriz. Si $X = A D A^{-1}$ donde $A$ es invertible y $D$ es diagonal, entonces es fácil ver que $$e^X = A e^D A^{-1}$$ y $$e^D = \mathrm{diag}(e^{d_{11}}, \ldots, e^{d_{nn}})$$

Por lo tanto, para diagonalizable matrices, corresponde a exponentiating cada autovalor.

También hay una interpretación general, pero es menos intuitiva. Cada complejo de $n \times n$ matriz puede ser escrita en la forma canónica de Jordan. Desde una matriz en la forma canónica de Jordan es de bloque diagonal con los bloques de la forma $$J(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}$$ where $\lambda$ is an eigenvalue of $X$, $e^X$ is similar to a block diagonal matrix consisting of the blocks $$e^{J(\lambda)} = \begin{pmatrix}e^\lambda & \frac{e^\lambda}{1!} & \frac{e^\lambda}{2!} & \cdots & \frac{e^\lambda}{(k - 2)!} & \frac{e^\lambda}{(k - 1)!} \\ & e^\lambda & \frac{e^\lambda}{1!} & \frac{e^\lambda}{2!} & \cdots & \frac{e^\lambda}{(k - 2)!} \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & e^{\lambda} & \frac{e^{\lambda}}{1!} & \frac{e^{\lambda}}{2!} \\ & & & & e^{\lambda} & \frac{e^\lambda}{1!} \\ & & & & & e^{\lambda}\end{pmatrix}$$ where $J(\lambda)$ is $k \times k$.

Por lo tanto, en general, exponentiating una matriz corresponde a exponentiating cada uno de sus bloques de Jordan.

De hecho, esta interpretación también se cumple para cualquier analítica de la función $f$ que se aplica a una matriz y no sólo a $e^X$. En general, $f(J(\lambda))$ implica que los derivados de la $f$. Ver a esta pregunta y a la Wikipedia para obtener más detalles.

Answer 2

En las Odas, es bastante simple. Para una sola ODE $$y' = ay$$ Tenemos que la solución es $y(t) = y(0)e^{at}$. En realidad podemos definir la función exponencial de esta manera (como una solución a un ODE). Si dejamos $\vec{y}(t) = (y_1(t),\dots,y_n(t))$, entonces la ecuación diferencial: $$\vec{y}' = Ay$$ donde $A$ es ahora una matriz, está dada por: $$e^{At}y(0)$$ Así, puede ser útil pensar en la matriz exponencial como la "Solución del Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias".

También se usa en la Mentira de la teoría, como la conexión entre una Mentira Álgebra/Grupo, pero si no ya sabes lo que es esto probablemente no sea útil para construir la intuición.

Answer 3

Pensar acerca de $\exp$ como una función que se traduce en un (relativo) de los infinitesimales aditivo cambio en un finito multiplicativo de cambio después de una unidad de tiempo (este punto de vista viene de la Mentira de grupos y álgebras). Suena extraño, y la conexión entre el cambio infinitesimal y el cambio resultante no siempre es obvia:

• Si usted no añaden nada, su infinitesimal de aditivos de cambio es cero ($x\mapsto x+0x$). La correspondiente finito multiplicativo cambio es $\exp 0=1$.
• Si el cambio infinitesimal es un múltiplo de la corriente de valor, es decir $x\mapsto x+\lambda x$, entonces su finitos cambio después de una unidad de tiempo es $\exp\lambda$.

Esto puede ser aplicado a matrices (y aún más general de construcciones):

• Si su infinitesimal, el cambio es simplemente la adición de una versión a escala de la corriente, el vector, es decir, $x\mapsto x+(\lambda\Bbb I)x$ (wheere $\Bbb I$ es la matriz identidad), entonces después de una unidad de tiempo corresponde a la ampliación de $x$ por un factor de $e^\lambda$, que corresponde a la mapa $x\mapsto(e^\lambda\Bbb I)x$. Usted ve $\exp(\lambda\Bbb I)=e^\lambda \Bbb I$.
• Si su infinitesimal aditivo cambio no apuntan en la dirección de la corriente, el vector de $x$, pero de forma perpendicular, es decir, $x\mapsto x+\lambda Rx$ con $$R:=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},$$ a continuación, la correspondiente multiplicativo de cambio es una rotación con un ángulo de $\lambda$ (en radianes). Si expresamos la rotación de las matrices $R_\theta$, entonces vemos a $\exp(\lambda R)=R_{\lambda}$.

Todo esto necesita un poco de intuición y mucha de ella puede ser liberado de ecuaciones diferenciales como decscribed por @Marca.

Answer 4

Solo un caso especial.

Imaginar una matriz de rotación de 3x3 o de una traducción de la matriz de 4x4. Se girará un punto alrededor de un eje en 3D y tal vez vivir (traducir). Estas matrices se utilizan en las operaciones 3D, ingeniería, diseño gráfico, balística, etc.. Si el eje componente direccional de la traducción es cero, el punto estará girando el eje en un plano 3D y su ruta se forma un círculo dado todos los posibles ángulos de rotación. En este caso la matriz exponencial es muy fácil de comprender.

El original de la matriz R se describe una rotación alrededor de un eje de x grados. una es el Eigen vector correspondiente a la menor Eigen valor. ( en la rotación de las matrices que valor será cero)

exp(2) de R describe una rotación de 2x alrededor del mismo eje.

exp(0.5) describe una rotación de 0.5 x alrededor de un.

exp(-1) = inv(R) describe una rotación de x en la dirección opuesta.

Por lo que la matriz exponencial puede ser usado para rastrear o modelo de la trayectoria de un objeto en rotación. Si la traducción que contiene un eje direccional componente de la ruta de acceso será una hélice girando alrededor del eje.