Se trata del método de las estrellas y las barras. Supongamos que las estrellas son objetos y el espacio entre las barras representa objetos correspondientes a un determinado grupo. Esta es una representación visual:
$\underbrace{*****}_{\text{first group}}|\underbrace{******}_{\text{second group}}|\underbrace{*****}_\text{third group}|\underbrace{**}_\text{fourth group}$
Compruebe que cada disposición de barras proporciona una separación de grupo única y que cada separación de grupo corresponde a una disposición de barras única.Compruebe también que para separar las estrellas en n grupos sólo se necesitan (n-1) barras.
entonces sólo hay que ver cuántos arreglos de barras son posibles. Observe que cuando tiene el $n-1$ bares y $k$ estrellas (suponiendo que hay k objetos para clasificar en n grupos) entonces hay $n-1+k$ posiciones que pueden adoptar las estrellas y las barras. Así que hay $\binom{n+k-1}{n-1}$ formas de elegir las posiciones de las barras.
El problema se complica cuando las cajas son idénticas, ya que, por ejemplo, los siguientes arreglos son iguales: $*|***|**$ y $**|*|***$ En el problema en el que las cajas son diferentes la respuesta correspondería de alguna manera a la distribución de monedas entre las personas. Cuando las cajas son idénticas sin embargo corresponde a encontrar el número de particiones del número en x o menos partes no nulas. Así, si definimos $p_k(n)$ para ser el número de particiones de n números en exactamente $k$ piezas no nulas entonces obtenemos que el número de formas de meter n canicas idénticas en k cajas idénticas es $\sum_{k=0}^np_k$ . Sin embargo, no hay una fórmula bonita para calcular $p_k$ o $\sum_{k=0}^np_k$ .
