Deje $A_1, A_2, A_3, \dots$ ser subconjuntos de un espacio métrico.
Si $B=\bigcup_{i=1}^\infty A_i$, demuestran que, a $\overline{B}\supset \bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i}.$
Mostrar, por ejemplo, que esta inclusión puede ser apropiado.
Prueba: vamos a probar que $\left(\overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i}\right)^c\subset \left(\bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i}\right)^c.$ Deje $x\in\left(\overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i}\right)^c$$x\notin\overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i}=\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\cup\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)'$. Por lo tanto $x\not\in \bigcup_{i=1}^\infty A_i$ $x\not\in \left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)'$ $x\notin A_i$ cualquier $i\geqslant 1$ $x$ no es punto límite de $\bigcup_{i=1}^\infty A_i$. Entonces existe eliminado barrio de punto de $x$ tal que $U'(x)\cap\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\varnothing$ $U'(x)\cap A_i=\varnothing$ todos los $i\geqslant 1$. Por lo tanto $x\notin A_i$ $x\notin A_i'$ todos los $i$. A continuación, $x\notin \overline{A_i}$ todos los $i\geqslant 1$$x\notin \bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i}$. A continuación,$x\in \left(\bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i}\right)^c$. Por lo tanto, $\left(\overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i}\right)^c\subset \left(\bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i}\right)^c.$ QED
Mi ejemplo es: Vamos a $A_i=(-\infty; -1/i)\cup(1/i; +\infty)$$\overline{A_i}=(-\infty; -1/i]\cup[1/i; +\infty)$. A continuación, $\bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i}=\mathbb{R^1}\setminus\{0\}$ pero $\overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i}=\overline{\mathbb{R^1}\setminus \{0\}}=\mathbb{R^1}$. Por lo tanto, $\mathbb{R^1}\setminus\{0\}$ es un subconjunto de a $\mathbb{R^1}$.
Son mi prueba y ejemplo verdad?
