Un problema de función real

Question

Deje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función continua de derivados que $f(\sqrt{2}) = 2$ y $$f(x) = \lim_{t \to 0}\dfrac{1}{2t}\int_{x-t}^{x+t}sf'(s)\,ds \ \text{for all} \ x \in \mathbb{R}.$$ Then $f(3)$ es igual a

$(a) \ \ \sqrt{3} \hspace{1.25 in} (b) \ \ 3\sqrt{2} \hspace{1.25 in} (c) \ \ 3\sqrt{3} \hspace{1.25 in} (d) \ \ 9$

Imagen Original

Alguien me puede ayudar a resolver este problema en función real . Aquí está mi pruebe Yo diferenciadas a ambos lados con respecto a $x$. Y tengo derivado de la $x$$0$. Llegué a la conclusión de $f(x)$ es una función constante. Así que la respuesta debe ser $2$. Pero $2$ no es una opción . Cómo resolver esto ??

Answer 1

Tenemos:\begin{align} f(x)&=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2t}\int_{x-t}^{x+t}sf'(s)\,ds\\ &=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2t}sf(s)\,\Big|_{x-t}^{x+t}-\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2t} \int_{x-t}^{x+t}f(s)\,ds\\ &=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2t}sf(s)\,\Big|_{x-t}^{x+t}-f(x) \end {Alinee el} o \begin{align} 2f(x)&=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2t}s f(s)\,\Big|_{x-t}^{x+t}\\ &=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2t}\cdot \left[ (x+t)f(x+t) - (x-t)f(x-t) \right]\\ &=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2t}\cdot \left[ x(f(x+t) - f(x-t)) +t(f(x+t) + f(x-t)) \right]\\ &=x \lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(x+t) - f(x-t)}{2t} + \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2}\\ &=xf'(x) + f(x) \end {Alinee el} o $$f(x)=xf'(x)$ $ que es $$f(x)=c x$ $ o $f(\sqrt{2})=2$, $$f(x)=\sqrt{2} x$ $ la respuesta es (b)